Поняття похідної.

Ці дві задачі розв’язуються одним і тим же самим способом, який складається з таких етапів:

1. Незалежній змінній x надаємо приросту ∆x.

2. Знаходимо приріст залежної змінної - ∆y.

3. Знаходимо відношення .

4. Знаходимо .

О₃ Похідною функції y=f (x) в точці x₀ називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу при умові, що приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує, тобто:

.

Порівнюючи одержані результати першої і другої задач із означенням похідної, можна зробити висновок:

якщо матеріальна точка рухається прямолінійно і її координата змінюється по закону s = s(t), то швидкість її руху v(t) в момент часу t дорівнює похідній s ^'(t):

V(t) = S^'(t) - механічний зміст похідної.

Геометричний зміст похідної: значення похідної функції y=f (x) в точці x₀ дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою x₀ :

f ^'(x₀)= k= tg ά.

Рівняння дотичної до кривої.

y= f (x₀) + f ^'( x₀) ( x – x₀)

Виведення рівняння дотичної: п.19, с. 135 ( Колмогоров)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Завдання для самостійної роботи

А

1. Користуючись означенням похідної, знайдіть похідну функції f, якщо:

a) в точці 1;

б) в точці 1;

в) в точці 1;

г) в точці 1.

2. Користуючись означенням похідної, знайдіть похідну функції f, якщо:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3. Знайдіть миттєву швидкість руху точки, якщо:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

4. Рух точки відбувається за законом .

У який момент часу швидкість руху дорівнює:

а) 0; б) 10?

5. Запишіть рівняння дотичної до параболи y= 3x² - 2

у точці а) x₀= -2; б) x₀= 0; в) x₀= 1.

Б

1. Знайти рівняння дотичної до кривої, заданої рівнянням у точці перетину кривої з віссю абсцис.

2. Вказати функцію, для якої є рівнянням дотичної до її графіка в точці А(1;1): a) ; б) ; в) ; г)

3. Обчислити значення похідної функції y = f(x) в точці x=а, користуючись означенням похідної: а) ; б)

4. Точка рухається за законом , де s – шлях у метрах, t – час у секундах. Знайти пройдений шлях у той момент, коли швидкість дорівнює нулю.

В

1. Знайти координати точки дотику дотичної

до кривої, заданої рівнянням

.

2. Знайти кутовий коефіцієнт дотичної до косинусоїди

у точці з абсцисою .

3. Знайти рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою x = x₀:

а) ; б) ;

в) .