3. Центр ваги однорідної плоскої фігури
3.1. Центром ваги твердого тіла називають незмінно зв’язану з цим тілом геометричну точку С, через яку проходить лінія дії рівнодійної сил ваги елементарних частинок тіла при будь-якому його положенні.
Координати центра ваги однорідної плоскої фігури визначаються за формулами:
,
,
(3.1)
де
- площа j-тої частини тіла,
-
координати центра ваги j-тої частини
тіла.
При визначенні координат центра ваги тіла необхідно пам’ятати:
а) якщо плоске однорідне тіло має вісь або центр симетрії, то центр ваги знаходиться або на осі симетрії, або в центрі симетрії;
б) якщо плоске тіло має складну геометричну форму, то його поділяють (якщо це можливо) на частини, у яких положення їх центра ваги легко знайти;
в) якщо тіло має пустоти (вирізи, отвори тощо), то відповідні їм площини
вважають від’ємними;
г) іноді доцільно доповнити задане тіло новими елементами, що полегшує розв’язання задачі: всю площину нового тіла вважають додатною, а площини
доданих елементів – від’ємними.
3.2. При розв’язанні задач на цю тему доцільно дотримуватись такого порядку:
поділити складну плоску фігуру на мінімальну кількість простих фігур, у яких положення центра ваги легко знайти;
вибрати систему координат: бажано, щоб тіло розташовувалось у першому квадранті;
записати формули (3.1) для визначення координат центра ваги плоскої фігури;
визначити величини, які входять в (3.1);
визначити координати
,
центра ваги тіла (розрахунок можна
вести в табличній формі – див., наприклад,
табл. 3.1).
Приклад
3.1. Визначити
центр ваги плоскої однорідної пластинки
(рис.3.1,а), якщо
м,
м,
м.
Розв’язання:
Для знаходження
центра ваги пластинки застосуємо спосіб
від’ємних площин: розіб’ємо плоску
фігуру на мінімальну кількість простих
фігур, центри ваги яких легко знаходяться,
а площини вирізів врахуємо зі знаком
“мінус” у формулах (3.1). На рис.3.1,б та
рис.3.1,в показано два можливих розбиття
плоскої фігури на мінімальну кількість
простих фігур: їх чотири у кожному
випадку. Зупинимось, наприклад, на
першому випадку (рис.3.1,б). Вибираємо осі
координат XOY і обчислюємо складові
,
в цій системі координат (рис.3.2)
а) трикутник ОВК (рис.3.2,а):
(м2),
(м),
(м);
б) прямокутник КВДЕ (рис. 3.2,б):
(м2),
(м),
(м);
Рис.
3.2
в) круг радіуса r (виріз – рис. 3.2, в):
(м2),
(м),
(м);
г) чверть круга радіуса R (виріз – рис.3.1,б, рис.3.2,г):
(м2),
(м),
(м),
(м).
Координати центра ваги плоскої фігури визначимо за формулами (3.1), розрахунок проведемо табличній формі:
Таблиця 3.1
Фігура (рис.3.1, 3.2) |
м2 |
м |
м3 |
м |
м3 |
1.трикутник ОВК |
0,54 |
0,4 |
0,216 |
0,6 |
0,324 |
2.прямокутник КВДЕ |
3,24 |
1,5 |
4,86 |
0,9 |
2,916 |
3.круг радіуса r |
-0,282 |
1,2 |
-0,338 |
0,9 |
-0,254 |
4.чверть круга R |
-0,636 |
2,018 |
-1,283 |
0,382 |
-0,243 |
|
2,862 |
|
3,455 |
|
2.743 |
За формулами (3.1) маємо:
(м),
(м).
На рис.3.1, б зображено центр ваги плоскої фігури С (1,207; 0,958).