2. Статика в просторі

2.1. Система збіжних сил

2 .1.1. Векторній рівності (1.1) відповідають три скалярні рівності:

(2.1)

які є умовами рівноваги просторової збіжної системи сил в аналітичній формі.

Ці умови називають також рівняннями рівноваги, з яких шукають невідомі величини під час розв’язання конкретних задач.

2 .1.2. У випадках, коли сила та вісь не лежать в одній площині, при визначенні проекції на вісь необхідно спочатку знайти її проекцію на площину, в якій лежить вісь, а потім цю проекцію спроектувати на вісь. Так, наприклад, для випадку на рис. 2.1 маємо :

Таким чином проекції вектора на осі Ох та Оу визначені шляхом подвійного проектування.

Приклад 2.1. З умов рівноваги вузла А визначити зусилля в трьох стержнях конструкції, що зображена на рис. 2.2.

Д ано:

КМ=1.5 м

ВК=3 м

КС=4 м

Р=5 кН

S_B – ?

S_C – ?

S_D – ?

Розв’язання. Розглянемо рівновагу вузла А. На нього діє ативна сила . В’язями для вузла А є три ідеальних стержні АB, АС та АД. Звільняємось від в’язей та заміняємо їх дію реакціями в’язей , та , які спрямовані вздовж осей стержнів від вузла А, тобто вважаємо, що всі стрежні розтягнуті (знак «плюс» у відповіді підтвердить наше припущення, що до окремих стержнів; знак «мінус» буде свідчити про те, що напрямок відповідної реакції протилежний вибраному та стержень стиснутий). Вибираємо систему координат, як показано на рис. 2.2.

З рис. 2.2 видно, що на вузол А діє просторова система збіжних сил, запишемо три рівняння рівноваги (2.1):

Тут бо

м,

бо м.

Розв’язуючи сумісно рівняння (а) та (в), отримуємо:

З рівняння (б) маємо: .

Відповідь: S_B=4.75 кН; S_С=7.14 кН; S_D=6.62 кН. Знак «плюс» свідчить про те, що напрямки реакцій в’язей , , вибрані правильно. Зусилля в стержнях рівні за величиною знайденим реакціям та протилежні за напрямком.

2.2. Зведення довільної просторової системи сил до центра.

Задачі на цю тему читач знайде у посібнику [5].

2.3. Довільна система сил в просторі

2.3.1. Як відомо [1, 2, 3], необхідними і достатніми умовами рівноваги просторової системи сил, яка діє на тверде тіло, є одночасна рівність нулю головного вектора та головного моменту

або в проекціях на осі координат маємо:

Таким чином, для рівноваги просторової довільної системи сил необхідно і достатньо, щоб сума проекцій всіх сил на кожну з трьох координатних осей і суми їх моментів відносно цих осей були рівні нулю. Незалежних рівнянь рівноваги в просторі в загальному випадку шість.

2.3.2. Поряд з поняттям моменту сили відносно точки (п.1.2.5) важливим в механіці є поняття моменту сили відносно осі, який характеризує обертальну дію сили навколо даної осі. Щоб обчислити момент сили відносно осі (наприклад, Z), необхідно:

• силу спроектувати в площину перпендикулярну до осі (рис. 2.3);

• обчислити момент сили відносно точки О (перетину осі з площиною):

(2.4)

• п оставити знак плюс, якщо при погляді з додатного кінця осі Z бачимо, що сила намагається обертати тіло навколо осі Z проти годинникової стрілки, і знак мінус, якщо сила намагається повернути тіло за годинниковою стрілкою.

Т аким чином момент сили відносно осі (2.4) є скалярною величиною, яка дорівнює моменту проекції сили на площину, перпендикулярну до даної осі,

відносно точки перетину осі з площиною, взятою з відповідним знаком.

Момент сили відносно осі (2.4), дорівнює нулю, якщо:

• лінія дії сили паралельна осі ( F_xy = 0);

• лінія дії сили перетинає вісь ( h = 0).

2.3.3. Якщо сила не паралельна жодній з координатних осей, то для спрощення обчислення моментів цієї сили відносно координатних осей (крім випадку коли лінія дії сили перетинає вісь, відносно якої обчислюємо момент) необхідно силу розкласти на складові, які паралельні осям, та скористатися теоремою Вариньона: момент рівнодійної відносно будь – якої осі дорівнює алгебраїчній сумі моментів складових сил відносно тієї ж осі (порівняй з випадком на площині - п.1.2.5).

П риклад 2.2. З умов рівноваги колінчастого вала визначити зусилля та реакції опор, якщо Р=10 кН, , АD=DB=2 м, СD=1 м, АК=3 м. Вагою вала ВАК (рис. 2.4) знехтувати.

Р озв’язання. Розглянемо рівновагу вала ВАК, враховуючи, що консоль CD жорстко прикріплена до нього. На вал діють дві активні сили i , які зрівноважуються

реакціями циліндричного підшипника А та підп’ятника В.

Звільняємось від в’язей та замінюємо їх дію реакціями в’язей. Обидві реакції невідомі ні за величиною, ні за напрямком, тому зображуємо ці реакції їх складовими: для циліндричного підшипника А, бо реакція підшипника перпендикулярна до осі обертання, та для підшипника з упором (підп’ятника) В.

Вибір осей координат зображено на рис. 2.4. Для спрощення розв’язування розкладаємо силу на складові (п.п.2.1.2, 2.2.3), які паралельні координтним осям (рис.2.4):

Де

Система сил яка діє на вал ВАК, є довільною просторовою системою сил. Для визначення невідомих складемо шість рівнянь рівноваги (2.3):

При складанні рівнянь (4)…(6) було враховано, що сила, яка паралельна осі або перетинає її, моменту відносно цієї осі не дає (п.2.3.2).

Р озв’язуємо систему рівнянь (1) - (6).

Відповідь:

Напрямки складових протилежні напрямкам, які були для них вибрані на рис. 2.4.

Приклад 2.3. З умов рівноваги однорідної плити вагою Р визначити реакції в’язей (рис. 2.5), якщо АВ=4 м, СВ=3 м, ВК=(АВ+СВ)/2, q=4 кН/м, Р=8 кН.

Розв’язання. Розглянемо рівновагу плити ABCD. В’язями для неї є три ідеальні стержні 1, 2, 3 та сферичний (кульовий) шарнір С.

Н а плиту діють активні сили (власна вага однорідної плити прикладена в центрі її ваги) та

(

прикладена на віддалі AD/3 від точки D і лежить в площині плити). Звільняємось від в’язей та замінюємо їх дію реакціями в'язей: реакції ідеальних стержнів

Рис. 2.5

напрямлені вздовж стержнів (рис. 2.5); реакцію кульового шарніра С зображаємо трьома складовими , бо ця реакція невідома ні за величиною, ні за напрямком. Осі координат вибираємо так, як показано на рис. 2.5.

На плиту діє довільна просторова система сил. Складемо шість рівнянь рівноваги (2.3), попередньо розклавши силу на складові (п. 2.3.3):

де

(м);

(м).

Маємо:

При складанні рівнянь (4)…(6) було враховано, що сила, яка паралельна осі або перетинає її, моменту відносно цієї осі не дає (п.2.3.2).

Відповідь:

Знаки «мінус» показують, що напрямки зусиль протилежні напрямкам, які були для них вибрані на рис. 2.5.