Занятия 7-8 (дополнителные). Тема: «Поверхностный интеграл, формулы Стокса, Остроградского - Гаусса».

1. Простые поверхности. Функция называется непрерывно дифференцируемой на замкнутом множестве , если она определена и имеет частные производные на открытом множестве , содержащем замкнутое множество .

Пусть - ограниченная область в , функции непрерывно дифференцируемы на замкнутом множестве , где – граница области . Тогда отображение : , определяемое формулами

(6.1)

называется непрерывно дифференцируемым. Если при этом в каждой точке ранг функциональной матрицы

равен двум, то отображение : называется гладким.

Если - замкнутое ограниченное множество в ; : есть такое гладкое отображение, что соответствие между множествами и является взаимно однозначным, то множество называется простой поверхностью в , а уравнения (6.1) называются параметрическими уравнениями простой поверхности .

Уравнения (6.1) простой поверхности можно записать в векторной форме:

. (6.2)

Пусть есть простая поверхность, заданная уравнением (6.1) или векторным уравнением (6.2). Рассмотрим точку на поверхности , где - внутренняя точка области . Построим координатные линии и , проходящие через точку . Векторы

(6.3) будут касательными к соответствующим координатным линиям ( ).

На простой гладкой поверхности всегда определено непрерывное поле единичных нормальных векторов

. (6.4)

( - векторное произведение векторов и )

Произвольные гладкие поверхности могут быть как ориентируемыми (двусторонними), так и неориентируемыми (односторонними). Гладкая поверхность, являющаяся границей области в , ориентируема. Ее внутренняя сторона задается нормальными векторами, направленными внутрь области (внутренними нормалями), внешняя сторона определяется внешними нормалями. Для построения поля внутренних нормалей к границе области достаточно построить внутреннюю нормаль к какой-то одной точке границы.

Рассмотрим

,

, (6.5) где

. (6.6)

Выражение, стоящее в правой части (6.5), называется первой квадратичной формой поверхности, числа называются коэффициентами первой квадратичной формы. В любой точке простой поверхности

.

Площадь простой поверхности определяется следующим образом (область предполагается измеримой по Жордану):

. (6.7)

Для поверхности, являющейся графиком непрерывно дифференцируемой функции на замыкании измеримой по Жордану области , формула (6.7) для площади поверхности имеет вид (см. занятие 3):

. (6.8)

2. Поверхностные интегралы 1-го рода.

Определение 6.1 Пусть - простая поверхность, заданная векторным уравнением (6.2). Пусть на поверхности определена непрерывная функция . Двойной интеграл

называется поверхностным интегралом 1-го рода от функции по поверхности и обозначается . Таким образом, по определению

. (6.9)

Интеграл (6.9) не зависит от выбора параметрического уравнения поверхности. Аддитивность интеграла (6.9) относительно поверхности следует из аддитивности двойного интеграла по области интегрирования. Подставляя выражение через коэффициенты первой квадратичной формы поверхности в (6.9), получим следующее выражение для поверхностного интеграла 1-го рода:

. (6.10)

Если поверхность является графиком непрерывно дифференцируемой функции на замыкании измеримой по Жордану области , то имеет место равенство

. (6.11)

Пример 6.1 Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода , где - часть гиперболического параболоида , вырезанная цилиндром .

∆ По формуле (6.11) получим

, где - круг . Переходя к полярным координатам и сводя двойной интеграл к повторному, найдем

.∆

Пример 6.2 Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода , где – верхняя полусфера .

∆ Параметризуем полусферу

,

.

Вычислим коэффициенты первой квадратичной формы поверхности и применим формулу (6.10). Получим:

,

,

.

,

,

. ∆

Пример 6.3 Вычислить интеграл , где - часть цилиндрической поверхности .

∆ Применим формулу (6.10). Вычислим коэффициенты квадратичной формы для цилиндрических координат: . Поэтому

. ∆

Пример 6.4 Вычислить интеграл , где - полная поверхность конуса .

∆ Пусть - боковая поверхность конуса, - его основание; тогда:

.

К первому интегралу применим формулу (6.11). На боковой поверхности конуса

,

.

Следовательно,

.

На основании конуса , поэтому второй интеграл равен четыре площади основания конуса . Итак, . ∆

3. Поверхностные интегралы 2-го рода. Пусть в некоторой окрестности простой поверхности задано непрерывное векторное поле, т.е. определена вектор – функция

, (6.12) компоненты которой есть непрерывные функции в некоторой области, содержащей поверхность .

Ориентируем поверхность единичными нормалями

. (6.13)

Противоположная ориентация поверхности возникает при замене в формуле (6.12) вектора на вектор . Для простой поверхности .

Спроектируем в каждой точке поверхности вектор на нормальный вектор. Тогда на поверхности будет определена непрерывная функция , знак которой зависит от ориентации поверхности.

Определение 5.2 Поверхностный интеграл 1-го рода

(6.14) называется потоком вектор–функции через ориентированную поверхность или поверхностным интегралом 2-го рода.

Очевидно, при изменении ориентации поверхности на противоположную интеграл (6.14) меняет знак.

Для поверхностного интеграла 2-го рода используются еще и следующие обозначения:

=

(6.15)

Воспользовавшись формулой (6.9) для вычисления интеграла (6.14), выразим поток векторного поля через простую поверхность , ориентированную нормалями (6.13), при помощи двойного интеграла по плоской области от смешанного произведения трех векторов :

=

. (6.16)

Пример 6.5 Вычислить поверхностный интеграл по внешней стороне полусферы (внешняя сторона определяется нормалями, направленными от центра).

∆ Вектор имеет координаты (см. формулу (6.15)) . Вектор нормали к поверхности коллинеарен градиенту функции : . Внешняя сторона полусферы в данном случае определяется нормалями, составляющими острый угол с осью . Единичный вектор к внешней стороне полусферы радиуса 1 имеет координаты: . Следовательно, и

.

Полусферу можно задать как график функции

.

От поверхностного интеграла 1-го рода перейдем к кратному, воспользовавшись формулой (6.11):

,

∆

Пример 6.6 Вычислить поверхностный интеграл по внешней стороне конической поверхности , считая, что внешняя сторона определяется нормалями, составляющими с осью тупой угол.

∆ Перепишем уравнение поверхности конуса в виде: или . Отсюда . Выберем направление нормали: проекция на ось должна быть меньше нуля. Единичная нормаль имеет координаты: . Следовательно, и

. ∆

Пример 6.7 Вычислить поток вектора через внутреннюю поверхность конической поверхности .

∆ Поверхность конуса можно параметризовать следующим образом:

,

,

.

Воспользовавшись формулой (6.16), получим:

.

Заметим, что при выбранной параметризации поверхности для проекции нормального вектора на ось справедливо неравенство

, поэтому вектор нормали составляет с осью острый угол и вектор определяет внутреннюю сторону конической поверхности. ∆

4. Формула Стокса. - непрерывно дифференцируемое векторное поле, заданное в некоторой области, содержащей простую ориентированную поверхность . - замкнутый соответственно ориентированный контур, ограничивающий поверхность (поверхность натянута на контур ). Говорят, что поверхность и ограничивающий ее контур ориентированы соответственно, если наблюдатель, движущийся по контуру и смотрящий на поверхность с той стороны, куда направлена нормаль к поверхности, видит поверхность слева. Тогда имеет место формула Стокса:

Эта формула может быть переписана в виде:

или

, (6.17)

где - вектор единичной нормали к поверхности , направленный соответственно направлению контура .

Формула Стокса может быть записана в векторной форме: циркуляция векторного поля по контуру равна потоку вихря этого поля через поверхность , натянутого на контур , т.е.

,

. (6.18)

Пример 6.8 Вычислить интеграл , где - кривая пересечения параболоида с плоскостью , ориентированная положительно относительно вектора .

∆ Применим формулу Стокса. За поверхность , ограниченную кривой , примем часть секущей плоскости , лежащей внутри параболоида. Единичным вектором нормали к , направленным соответственно направлению кривой , является вектор .

Так как , то

.

Применяя формулу (6.17), получим

.

Так как на поверхности , то . Следовательно,

,

где Ω – проекция на плоскость . Исключая из уравнений

,

получим

,

т.е. Ω – есть круг радиуса . Следовательно, .∆

Пример 6.9 Вычислить криволинейный интеграл , взятый по отрезку винтовой линии (рис. 6.1) от точки до точки .

Рис. 6.1

∆ Дополним кривую отрезком до замкнутой кривой . В силу аддитивности криволинейного интеграла относительно кривой

.

Так как на отрезке выполнены равенства , то

.

Рассмотрим векторное поле: . Вычислим (6.18)

.

По формуле Стокса (6.18) , следовательно,

. ∆

5. Формула Остроградского. Пусть - ограниченная область, граница которой есть кусочно гладкая поверхность, ориентированная внешними нормалями. В задано непрерывно дифференцируемое векторное поле . Тогда поток векторного поля через границу области равен тройному интегралу от по области , т.е.

, (6.19) или

. (6.20)

Пример 6.10 Показать, что поверхностный интеграл по внешней стороне части конической поверхности равен нулю.

∆ Запишем поверхностный интеграл в виде , где . Тогда . Применим формулу Остроградского к области , изображенной на рис. 6.2.

Рис. 6.2

Граница состоит из поверхности и круга радиуса с центром в точке . Так как , то

.

Следовательно,

. ∆

Пример 6.11 Вычислить поверхностный интеграл по внешней стороне полной поверхности конуса .

∆ Запишем поверхностный интеграл в виде , где . Тогда . Применим формулу Остроградского:

,

где – объем конуса, площадь основания которого круг радиуса 4, высотой 4. Следовательно, .∆