3. В аудитории.
1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования в том и другом порядке для указанных областей:
1.1
– треугольник с вершинами
(Д. 3917);
1.2
- параболический сегмент, ограниченный
кривыми
(Д. 3921);
1.3
ограничен линиями
.
2. Изменить порядок интегрирования:
2.1
(Д. 3924);
2.2
(Д. 3927);
2.3
(Д. 3928);
2.4
(Д. 3930).
3. Вычислить повторный интеграл, переменив порядок интегрирования:
3.1
;
3.2
.
4.
Вычислить
.
4. Задачи для самостоятельной работы.
1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования в том и другом порядке для указанных областей:
1.1
– трапеция с вершинами
(Д. 3918);
1.2
– круг
(Д. 3920);
1.3
ограничен линиями
;
1.4
ограничен линиями
.
2. Изменить порядок интегрирования:
2.1
(Д. 3926);
2.2
;
2.3
(Д. 3931);
2.4
;
2.5
.
3. Вычислить повторный интеграл, переменив порядок интегрирования:
3.1
;
3.2
.
4.
Вычислить
,
- ограничена прямыми
.
Занятие 2. Тема: «Замена переменной в двойном интеграле».
1.
Замена переменной в двойном интеграле.
Рассмотрим двойной интеграл
.
Замена переменных в двойном интеграле
состоит в переходе от переменных
к новым переменным
и
по формулам
(2.1)
При
этом каждая точка
области
соответствует некоторой точке
области
,
а каждая точка
области
переходит в некоторую точку
области
(рис 2.1).
Рис. 2.1
Иными
словами, когда точка
«пробегает» область
,
соответствующая ей точка
«пробегает» область
.
Функции (2.1) называются также отображением
области
плоскости
на область
плоскости
.
Область
называется образом
области
,
а область
- прообразом
области
при отображении (2.1).
Пусть отображение (2.1) удовлетворяет следующим условиям.
1. Отображение (2.1) взаимно однозначно, т.е. различным точкам области соответствуют различные точки области .
2.
Функции
и
имеют в области
непрерывные частные производные первого
порядка.
3.
Якобиан отображения
отличен от нуля во всех точках области
.
Теорема 2.1. Пусть и – измеримые компакты, отображение (2.1) удовлетворяет условиям 1 – 3. Если функция интегрируема на , то справедливо равенство
(2.2)
Формула (2.2) называется формулой замены переменных в двойном интеграле.
Формулам
(2.1), которые рассматриваются как
отображение области
на область
,
можно придать другой смысл. Рассмотрим
в области
отрезок прямой
(рис. 2.2). В области
ему соответствует параметрически
заданная кривая
,
(2.3)
где
роль параметра играет переменная
.
Точно так же отрезку прямой
в области
соответствует в области
кривая
,
(2.4)
где
роль параметра играет
.
Точке
области
соответствует некоторая точка
области
,
причем в силу взаимной однозначности
отображения (2.1) точке
соответствует единственная точка
области
,
т.е. точка
однозначно определяется парой чисел
.
Поэтому числа
и
можно рассматривать как координаты
точки
(но уже не прямоугольные, а какие-то
другие), а кривые (2.3) и (2.4), на которых
одна и координат
или
постоянна,
естественно назвать координатными
линиями
и
.
Так как координатные линии представляют
собой кривые, то числа
называются криволинейными координатами
точки
.
При отображении (2.1) сетка прямых
координатных линий в области
переходит в сетку кривых координатных
линий в области
.
Итак, формулы (2.1) можно рассматривать
как формулы перехода от прямоугольных
координат
к новым, криволинейным координатам
в области
.
Рис. 2.2
Примером
криволинейных координат являются
полярные координаты
,
связанные с прямоугольными координатами
формулами
.
Иногда
в качестве промежутка изменения
берется промежуток
.
Якобиан перехода к полярным координатам
имеет вид
. (2.5)
Пример
2.1
Вычислить интеграл
,
где
- область, ограниченная прямыми
.
∆ Уравнения
линий, ограничивающих данный
четырехугольник
(рис. 2.3), запишем в виде
.
Заменим переменные по формулам
.
Образом является прямоугольник (рис. 2.4).
1
Рис. 2.3 Рис. 2.4
Находим
.
.
Вычисляем интеграл по формуле (2.2)
.
∆
Пример
2.2
Вычислить интеграл
,
где
- область, заключенная между параболами
и гиперболами
(рис. 2.5).
∆ Сделаем замену переменных:
.
Рис. 2.5
Область
отображается в область
,
ограниченную прямыми
.
При вычислении якобиана учтем, что
.
Вычислим интеграл:
.
∆
Пример
2.3
Вычислить интеграл
,
где
- круг, ограниченный окружностью
.
∆ Круг изображен на рис. 2.6 а).
Рис. 2.6 а) Рис. 2.6 б)
1
способ.
Перейдем к полярным координатам
с полюсом в точке
.
Наглядно видно, что в качестве пределов
интегрирования для
можно взять промежуток
.
Подставляя выражения
в уравнение окружности
,
получим
,
откуда
или
.
Поэтому (рис. 2.6 б)
.
Учтем выражение для якобиана в полярных координатах (2.5), получим
.
2 способ. Обычно замена переменных в двойном интеграле производится с целью упрощения области интегрирования. Если в данном примере перейти к полярным координатам с полюсом не в точке , а в точке (центре круга), т.е. по формулам
,
то
прообразом круга
окажется
Выражение
для подынтегральной функции примет вид
.
В этом случае выражение для якобиана не изменится и
.
∆
Пример
2.4
Вычислить
,
где
.
∆ Область представляет собой кольцо (рис. 2.7а).
Рис. 2.7а) Рис. 2.7б)
Перейдем
к полярным координатам
.
При этом отображении прообразом кольца
является прямоугольник
(рис. 2.7б). Применяя формулу (2.2) и сводя
двойной интеграл к повторному, получим
.
∆
Пример
2.5
Найти площадь фигуры
,
ограниченной кривой
∆ Площадь
фигуры, ограниченной кривой, вычисляется
по формуле
(см. занятие 3). Так как левая часть
уравнения кривой неотрицательна при
любых
и
,
то и правая часть должна быть неотрицательна,
а значит,
и
должны иметь одинаковые знаки.
Следовательно, кривая расположена в
и
квадрантах, причем она симметрична
относительно начала координат (Если
точка
удовлетворяет уравнению кривой, то и
тоже удовлетворяет этому уравнению).
Поэтому вся фигура состоит из двух
частей, симметричных относительно
начала координат. Найдем площадь фигуры
,
расположенной в
квадранте. Для этого удобно перейти к
новым переменным – обобщенным
полярным координатам.
Они вводятся по формулам
,
(2.6)
где
- некоторые числа, выбираемые в каждом
конкретном случае из соображений
удобства. Якобиан отображения (2.6) равен
(2.7)
В
данном случае удобно взять
.
Тогда уравнение кривой примет вид
,
откуда
или
,
причем
(
квадрант). Кривые
и
на плоскости
ограничивают область
- прообраз части фигуры
,
лежащей в
квадранте. Якобиан отображения (2.7) в
данном случае равен
.
Площадь равна
.
Искомая
площадь фигуры
равна
,
т.е.
.
∆