5. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования.

Теорема 5.5 Пусть функции непрерывны в области . Тогда следующие три условия эквивалентны.

I. Для любого замкнутого кусочно гладкого контура , расположенного в области , справедливо равенство .

II. Для любых двух точек и в области криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, расположенного в области .

III. Выражение является полным дифференциалом, т.е. в области существует функция такая, что . При этом для любой кусочно гладкой кривой , лежащей в области , имеет место равенство .

Пусть - односвязная область, функции имеют в области непрерывные частные производные . Тогда каждое из условий I. - III. эквивалентно следующему условию:

IV. В области выполняется равенство .

Пример 5.14 Убедившись в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл по кривой с началом в точке и концом в точке : .

∆ . Проверим: . Таким образом, условие IV теоремы 5.5 выполнено и выражение является полным дифференциалом, и криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Возьмем в качестве пути интегрирования, например, ломанную , где (рис.5.7).

Рис. 5.7

Рассмотрим интеграл по каждому отрезку:

;

.

Следовательно, .∆

5. В аудитории.

1. Вычислить криволинейные интегралы 2-го рода, взятые вдоль указанных кривых в направлении возрастания параметра:

1.1 , где – парабола (Д. 4250);

1.2 , где - арка циклоиды: (Д. 4253);

1.3 , где - кривая (Д. 4279).

2. Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить:

(Д. 4259).

3. Применяя формулу Грина, вычислить:

3.1 , где - окружность (Д. 4298);

3.2 , где – пробегаемый в положительном направлении контур, ограничивающий область (Д. 4298).

4. С помощью криволинейных интегралов вычислить площади, ограниченные следующими кривыми:

4.1 (астроида) (Д.4309);

4.2 (петля декартова листа). Указание: положить (Д.4311).

6. Задачи для самостоятельной работы.

1. Вычислить криволинейные интегралы 2-го рода, взятые вдоль указанных кривых в направлении возрастания параметра:

1.1 , где – кривая (Д. 4251);

1.2 , где – окружность , пробегаемая против хода часовой стрелки (Д. 4254);

1.3 по отрезку , ориентированному в направлении от точки к точке ;

1.4 , где – виток линии , пробегаемый в направлении возрастания параметра (Д. 4280).

2. Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить:

2.1 вдоль путей, не пересекающих оси (Д. 4263);

2.2 по кривой с началом в точке и концом в точке ;

2.3 по кривой с началом в точке и концом в точке .

3. Применяя формулу Грина, вычислить (интеграл по замкнутому контуру пробегается так, что его внутренность остается слева):

3.1 , где - эллипс (Д. 4299);

3.2 (Д. 4301).

3.3 , где – граница треугольника с вершинами .

4. С помощью криволинейных интегралов вычислить площади, ограниченные следующими кривыми:

4.1 и осью (парабола)(Д.4310);

4.2 (лемниската). Указание: положить (Д.4312).