3. Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода.

Теорема 5.3 Если - кусочно гладкая кривая, заданная уравнениями (5.1), функции кусочно непрерывны вдоль кривой и - единичный касательный вектор к кривой в точке , причем направление соответствует направлению движения от к ( - угол между вектором в точке и осью ). Тогда имеет место равенство

, где . (5.14)

( – скалярное произведение векторов и .)

Для пространственной кривой (5.4) справедлива аналогичная теорема, а формула (5.14) имеет вид

, (5.15)

где - углы между касательным вектором к кривой в точке и осями .

Из формул (5.14), (5.15) следует физическое приложение криволинейного интеграла 2-го рода. Работа силы при перемещении материальной точки из точки в точку вдоль плоской кривой вычисляется по формуле (5.14), вдоль пространственной кривой – по формуле (5.15).

4. Формула Грина.

Теорема 5.4 Пусть функции и их частные производные непрерывны в односвязной области , а простой кусочно гладкий контур ограничивает область . Тогда справедлива формула Грина

, (5.16)

где контур ориентирован так, что при его обходе область остается слева (направление обхода положительно).

Площадь области , ограниченной простым кусочно гладким контуром , равна

(5.17)

(при обходе контура область остается слева).

Пример 5.10 Вычислить криволинейный интеграл по замкнутому контуру , пробегаемому так, что его внутренность остается слева, где - граница треугольника с вершинами (рис. 5.3).

Рис. 5.3

∆ Воспользуемся формулой Грина (5.16): . Следовательно, (равна площади треугольника , взятой со знаком «-»). ∆

Пример 5.11 Вычислить криволинейный интеграл , где - верхняя полуокружность (рис. 5.4).

Рис. 5.4

∆ Введем обозначения: . Дополним кривую интегрирования до замкнутого контура отрезком оси . Получим

.

Так как , то по формуле Грина (5.16) находим:

,

где - верхняя половина круга радиуса 1. Поэтому . Вычислим интеграл по отрезку оси . Учитывая, что на этом отрезке , получим . Таким образом, .∆

Пример 5.12 Найти площадь области, ограниченной плоскими кривыми: . (рис. 5.5).

Рис. 5.5

∆ Для нахождения площади фигуры, ограниченной данными кривыми (рис. 5.5) воспользуемся формулой (5.17): , где - контур . Применим свойство аддитивности криволинейного интеграла относительно кривой:

.

Рассмотрим интеграл по каждому участку:

;

;

.

Итак, . ∆

Пример 5.13 С помощью криволинейных интегралов вычислить площадь области, ограниченной окружностью и параболой (область содержит начало координат) (рис 5.6).

Рис. 5.6

∆ Найдем точки пересечения окружности и параболы : . Воспользуемся формулой (5.17), учитывая положительное направление обхода области (против часовой стрелки – область слева) и свойством аддитивности криволинейного интеграла относительно кривой:

.

Вычислим интеграл по каждому участку:

;

.

Итак, .∆