
- •Часть 1 Занятие 1. Тема: «Двойной интеграл. Повторное интегрирование».
- •3. В аудитории.
- •4. Задачи для самостоятельной работы.
- •Занятие 2. Тема: «Замена переменной в двойном интеграле».
- •2. В аудитории.
- •3. Задачи для самостоятельной работы.
- •Занятие 3. Тема: «Приложение двойного интеграла».
- •1. Геометрические приложения двойных интегралов.
- •3. В аудитории.
- •4. Задачи для самостоятельной работы.
- •Занятие 4. Тема: «Тройной интеграл».
- •4. В аудитории.
- •4. Задачи для самостоятельной работы.
- •Занятие 5. Тема: «Криволинейный интеграл 1-го рода, приложения».
- •3. В аудитории.
- •4. Задачи для самостоятельной работы.
- •Занятие 6. Тема: «Криволинейный интеграл 2-го рода, формула Грина, приложения».
- •2. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода с помощью определенного интеграла.
- •3. Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода.
- •4. Формула Грина.
- •5. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования.
- •5. В аудитории.
- •6. Задачи для самостоятельной работы.
- •Занятия 7-8 (дополнителные). Тема: «Поверхностный интеграл, формулы Стокса, Остроградского - Гаусса».
- •2. Поверхностные интегралы 1-го рода.
- •6. В аудитории.
- •7. Задачи для самостоятельной работы.
- •Часть 2
- •2 Вариант
- •3 Вариант
- •4 Вариант
- •Уровень б
- •5 Вариант
3. В аудитории.
1. Вычислить криволинейные интегралы 1-го рода:
1.1
, где
- контур треугольника с вершинами
(Д. 4221);
1.2
, где
- кривая:
(Д. 4223);
1.3
, где
- дуга астроиды:
(Д. 4225).
2.
Найти длину дуги пространственной
кривой
при
(Д. 4232).
3. Вычислить криволинейные интегралы 1-го рода, взятые вдоль пространственных кривых:
3.1
,
где
- часть винтовой линии:
(Д. 4237);
3.2
,
где
– окружность:
(Д. 4238).
4. Задачи для самостоятельной работы.
1. Вычислить криволинейные интегралы 1-го рода:
1.1
, где
- арка циклоиды:
(Д. 4222);
1.2
, где
- дуга гиперболы:
(Д. 4224);
1.3
, где
- выпуклый контур, ограниченный кривыми:
(
и
– полярные координаты) (Д. 4226).
1.4
Найти массу кривой:
,
если линейная плотность в ее точке
равна
(Д. 4241/1)
2.
Найти длину дуги пространственной
кривой
от точки
до точки
(Д. 4233).
3.
Вычислить криволинейные интеграл 1-го
рода
,
взятый вдоль пространственной кривой,
где
– коническая винтовая линия
(Д. 4239).
Занятие 6. Тема: «Криволинейный интеграл 2-го рода, формула Грина, приложения».
1. Определение криволинейного интеграла 2-го рода. Пусть – простая, спрямляемая незамкнутая кривая на координатной плоскости задана уравнениями
,
. (5.9)
Пусть
на кривой
заданы две функции:
и
.
Разобьем
на
частей точками
.
При этом кривая
разобьется на
частей точками
в направлении от
к
.
Пусть
- координаты точки
- длина дуги
.
На каждой дуге возьмем некоторую точку
и составим две
интегральные суммы:
.
Определение
5.2
Число
называется пределом
интегральных
сумм
при
,
если
такое, что для любого разбиения кривой
,
у которого
,
и для любого выбора промежуточных точек
выполняется неравенство
.
Если
существует
,
то он называется криволинейным
интегралом
2-го
рода
и обозначается
.
Сумма называется общим криволинейным интегралом 2-го рода и обозначается так:
(5.10)
Аналогично
водится криволинейный интеграл 2-го
рода вдоль пространственной кривой,
заданной параметрически (5.4)
:
. (5.11)
Из определения криволинейного интеграла 2-го рода следует, что при изменении направления обхода кривой изменяется и знак интеграла, т.е.
.
Если - замкнутая кривая, т.е. точка совпадает с точкой , то для нее можно указать два направления обхода от к . Если область, лежащая внутри контура, остается слева по отношению к движущейся по контуру точке, то такое направление обхода кривой называется положительным, а противоположное ему – отрицательным.
Криволинейные интегралы 2-го рода обладают свойствами линейности и аддитивности, однако теорема об оценке модуля интеграла и формула среднего значения, вообще говоря, неверны.
2. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода с помощью определенного интеграла.
Теорема
5.2
Если
- кусочно гладкая кривая, заданная
уравнениями (5.1) ((5.4) для пространственной
кривой), функции
кусочно непрерывны вдоль кривой
,
то существует криволинейный интеграл
(5.10)((5.11)) и справедливо равенство
,
(5.12) для пространственной
кривой
.
(5.13)
Пример
5.7
Вычислить криволинейный интеграл 2-го
рода
по кривой
,
пробегаемой в направлении возрастания
параметра
,
- дуга синусоиды
.
∆ Воспользуемся
теоремой 5.2, параметризуем кривую:
.
Получим:
.∆
Пример
5.8
Вычислить криволинейный интеграл 2-го
рода
по кривой
,
пробегаемой в направлении возрастания
параметра
,
- дуга синусоиды
.
∆ Так
как:
,
то:
.∆
Пример
5.9
Вычислить криволинейный интеграл
по отрезку
,
ориентированному от точки
к точке
.
∆ Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид:
,
следовательно,
и
.
∆