4. В аудитории.

1. Вычислить тройные интегралы:

1.1 , где область ограничена поверхностями (Д. 4076);

1.2 , где область ограничена поверхностями (Д. 4078).

2. Различными способами расставить пределы интегрирования

(Д. 4081).

3.Производя надлежащую замену переменных, вычислить тройной интеграл:

3.1 , где область ограничена поверхностью (Д. 4087);

3.2 , где область - внутренность эллипсоида (Д. 4090).

4. Найти объемы тел, ограниченных следующими поверхностями:

4.1 (Д. 4101);

4.2 (Д. 4104);

4.3 (Д. 4109);

4.4 (Д. 4111).

4. Задачи для самостоятельной работы.

1. Вычислить тройные интегралы:

1.1 , где область ограничена поверхностями (Д. 4077);

1.2 , где область ограничена поверхностями (Д. 4078).

2. Различными способами расставить пределы интегрирования

(Д. 4082).

3.Производя надлежащую замену переменных, вычислить тройной интеграл:

3.1 (Д. 4088);

3.2 , где область ограничена поверхностями (Д. 4091).

4. Найти объемы тел, ограниченных следующими поверхностями:

4.1 (Д. 4102);

4.2 (Д. 4107);

4.3 (Д. 4110);

4.4 (Д. 4115).

Занятие 5. Тема: «Криволинейный интеграл 1-го рода, приложения».

1. Определение криволинейного интеграла 1-го рода. Пусть – простая, спрямляемая (замкнутая или незамкнутая) кривая на координатной плоскости задана уравнениями

, (5.1)

где функции (5.1) непрерывны на отрезке , и пусть на кривой определена функция . Разобьем на частей точками . При этом кривая разобьется на частей точками . Обозначим через длину дуги , выберем на каждой дуге некоторую точку и составим интегральную сумму

.

Пусть .

Определение 5.1 Число называется пределом интегральных сумм при , если такое, что для любого разбиения кривой , у которого , и для любого выбора промежуточных точек выполняется неравенство .

Если существует , то число называется криволинейным интегралом 1-го рода от функции по кривой и обозначается

. (5.2)

Если кривая - незамкнутая и точки и – ее концы, то криволинейный интеграл 1-го рода обозначается также: .

Из определения следует, что криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от того, в каком направлении (от к или от к ) пробегается кривая , т.е.

Если , то равен длине кривой :

(5.3)

Аналогично вводится криволинейный интеграл 1-го рода для пространственной кривой , заданной параметрически уравнениями

. (5.4)

Криволинейные интегралы 1-го рода обладают свойствами, аналогичными свойствам определенного интеграла: линейность; аддитивность; модуль интеграла не превосходят интеграла от модуля функции; справедлива формула среднего значения.

2. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода с помощью определенного интеграла. Кривая , заданная (5.1) ((5.4)), называется гладкой (кусочно гладкой), если функции имеют непрерывные (кусочно непрерывные) производные, одновременно не обращающиеся в нуль на (на , за исключением конечного числа точек). Функция , определенная на кривой , называется непрерывной вдоль кривой , если . Если это условие выполнено в каждой точке кривой, за исключением конечного числа точек, в которых функция имеет разрывы первого рода, то функция называется кусочно непрерывной вдоль кривой .

Теорема 5.1 Если - кусочно гладкая кривая, заданная уравнениями (5.1) ((5.4) для пространственной кривой), функция кусочно непрерывна вдоль кривой , то существует криволинейный интеграл (5.2) и справедливы равенства: для кривой на плоскости -

, (5.5) для пространственной кривой -

. (5.6) Если кривая задана уравнением , и имеет непрерывную производную на , то существует интеграл (5.2) и справедливо равенство

. (5.7)

Если кривая задана в полярных координатах уравнением , и имеет непрерывную производную на , то существует интеграл (5.2) и

. (5.8)

Пример 5.1 Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода , где - отрезок с концами (рис. 5.1).

Рис. 5.1

∆ Уравнение прямой, проходящей через точки и имеет вид . Применим формулу (5.7):

.

Функция вдоль прямой имеет вид: . Следовательно,

. ∆

Пример 5.2 Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода , где – замкнутый контур ; - дуга экспоненты (рис. 5.2).

Рис. 5.2

∆ Воспользуемся свойством аддитивности относительно кривой:

.

Рассмотрим криволинейный интеграл 1-го рода по каждому участку. Учтем, что криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления, в котором движемся по контуру.

;

;

;

.

Итак, . ∆

Пример 5.3 Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода , где – окружность .

∆ В полярных координатах уравнение контура примет вид: . Воспользуемся формулой (5.8), учтем, что . Тогда

. ∆

Пример 5.4 Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода , где - пространственная кривая, заданная параметрически: .

∆ Воспользуемся формулой (5.6), учтем, что ,

и что выражение подынтегральной функции вдоль кривой имеет вид .

Следовательно, .∆

Пример 5.5 Найти длину пространственной кривой от точки до точки .

∆ Очевидно, что кривая проходит через точку при , через точку при . Воспользуемся формулой для длины дуги (5.3) и формулой (5.5) для пространственной кривой:

. ∆

Пример 5.6 Найти массу, распределенную с линейной плотностью по пространственной кривой с началом и концом .

∆ Кривая есть пересечение гиперболического параболоида и параболического цилиндра . Масса кривой равна . Параметризуем кривую

.

Учтем, что

.

Итак,

.∆