3. В аудитории.

1. Найти площади, ограниченные следующими кривыми:

1.1 ;

1.2 (Д. 3985).

2. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь, ограниченную следующими кривыми:

(Д. 3987).

3. Производя надлежащую замену переменных, найти площади фигур, ограниченные следующими кривыми:

3.1 (Д. 3996);

3.2 (Д. 3998а);

3.3 (Д. 3999а).

4. Найти объемы тел, ограниченных следующими поверхностями:

4.1 (Д. 4007);

4.2 (Д. 4011);

4.3 (Д. 4020);

4.4 .

5. Найти площадь части поверхности , заключенной внутри цилиндра .

4. Задачи для самостоятельной работы.

1. Найти площади, ограниченные следующими кривыми:

1.1 ;

1.2 (Д. 3984).

2. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь, ограниченную следующими кривыми:

2.1 ;

2.2 .

3. Производя надлежащую замену переменных, найти площади фигур, ограниченные следующими кривыми:

3.1 (Д. 3997);

3.2 (Д. 3998б);

3.3 (Д. 3999б);

3.4 .

4. Найти объемы тел, ограниченных следующими поверхностями:

4.1 (Д. 4008);

4.2 (Д. 4012);

4.3 (Д. 4019).

5.1 Найти площадь поверхности тела, ограниченного поверхностями (Д. 4037).

5.2 Найти площадь части поверхности , расположенной вне цилиндров

(Д. 4040).

Занятие 4. Тема: «Тройной интеграл».

1. Определение тройного интеграла. Основные понятия и теоремы для тройных интегралов аналогичны соответствующим понятиям и теоремам для двойных интегралов. Пусть функция определена на измеримом по Жордану множестве в трехмерном евклидовом пространстве. Разобьем область на измеримых частей так, чтобы любые две части не имели общих внутренних точек, в каждой части возьмем произвольную точку и составим сумму

,

где - объем .

Пусть – диаметр , .

Определение. Число называется пределом интегральных сумм при если такое, что для любого разбиения области , у которого , и для любого выбора промежуточных точек выполняется неравенство .

Если существует , то он называется тройным интегралом от функции по множеству и обозначается или , а функция называется интегрируемой в области .

2. Вычисление тройных интегралов с помощью повторного интегрирования. Пусть функция определена в области , где - непрерывные функции на измеримом компакте (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Теорема 4.3 Пусть:

1) существует тройной интеграл ;

2) существует определенный интеграл .

Тогда существует двойной интеграл

(он называется повторным) и справедливо равенство

, (4.1)

т.е. тройной интеграл равен повторному.

Если область является элементарной относительно оси (рис. 4.1), т.е. , то двойной интеграл в свою очередь можно свести к повторному

. (4.2)

Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится в этом случае к последовательному вычислению трех определенных (однократных) интегралов:

.

В формуле (4.1) повторный интеграл представляет собой двойной интеграл, а внутренний интеграл в повторном является определенным интегралом. Возможно и иное сведение тройного интеграла к повторному, когда повторный интеграл представляет собой определенный интеграл, а внутренний в повторном является двойным интегралом.

Пусть функция определена и ограничена в области , которая заключена между плоскостями и , причем каждое сечение области плоскостью представляет собой измеримое множество (рис. 4.2).

Рис. 4.2

Теорема 4.4 Пусть:

1) существует тройной интеграл ;

2) существует двойной интеграл .

Тогда существует определенный интеграл

(он называется повторным) и справедливо равенство

. (4.3)

2. Замена переменной в тройном интеграле. Аналогично случаю двойного интеграла замена переменных в тройном интеграле состоит в переходе от переменных к новым переменным по формулам

. (4.4)

При этом каждая точка области соответствует некоторой точке области , а каждая точка области переходит в некоторую точку области . Иными словами, функции (4.4) осуществляют отображение области пространства на область пространства .

Пусть отображение (4.4) удовлетворяет следующим условиям.

1. Отображение (4.4) взаимно однозначно.

2. Функции , имеют в области непрерывные частные производные первого порядка.

3. Якобиан отображения отличен от нуля во всех точках области .

Теорема 4.5 Пусть и – измеримые компакты, отображение (4.4) удовлетворяет условиям 1 – 3. Если функция интегрируема на , то справедливо равенство

(4.5)

Формула (4.5) называется формулой замены переменных в тройном интеграле.

Формулы (4.4) можно рассматривать как формулы перехода к новым, криволинейным координатам . Приведем примеры часто употребляемых криволинейных координат.

Цилиндрические координаты. Пусть - произвольная точка в пространстве , - проекция точки на плоскость (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Точка однозначно задается тройкой чисел , где - полярные координаты точки на плоскости , - аппликата точки . Тройка чисел называется цилиндрическими координатами точки . Переход от прямоугольных координат к цилиндрическим задается формулами

. (4.6) Иногда в качестве промежутка изменения берется промежуток . Якобиан отображения (4.6)

. (4.7)

Сферические координаты. Пусть - произвольная точка в пространстве , - проекция точки на плоскость (рис. 4.4а).

Рис. 4.4а Рис. 4.4б

Точка однозначно задается тройкой чисел где – расстояние точки от начала координат , - полярный угол точки на плоскости , - угол между лучами и . Тройка чисел называется сферическими координатами точки . Переход от прямоугольных координат к сферическим координатам задается формулами

,

. (4.6)

Якобиан отображения (4.6) равен:

. (4.7)

Иногда вместо берется угол между лучами и ; в этом случае

,

,

.

Иногда используются так называемые обобщенные сферические координаты. Они связаны с прямоугольными координатами формулами

,

, (4.8)

где - некоторые числа, выбираемые в каждом конкретном случае из соображений удобства.

3. Вычисление объемов с помощью тройных интегралов. Объем измеримого множества в пространстве выражается формулой

. (4.9)

Переходя в (4.9) к новым переменным по формулам (4.4), получим выражение объема в криволинейных координатах:

. (4.10)

Величину , представляющую собой объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами , естественно называть элементом объема в прямоугольных координатах , а величину - элементов объема в криволинейных координатах . Модуль якобиана можно трактовать как коэффициент растяжения объема в точке при отображении области пространства на область пространства .

Пример 4.1 Вычислить тройной интеграл , где - область, ограниченная поверхностями .

∆ Область элементарна относительно оси (рис. 4.5).

Рис. 4.5

Пусть есть область на плоскости , ограниченная прямыми . Очевидно, что область элементарна относительно оси . Применяя теорему 4.3, получим:

. ∆

Пример 4.2 Свести трехкратный интеграл

к однократному, если - непрерывная на отрезке функция.

∆ Трехкратный интеграл равен тройному интегралу

по области , ограниченной параболоидом и плоскостью (рис. 4.6).

Рис. 4.6

Область элементарна относительно оси :

,

где .

Сводя тройной интеграл к трехкратному, получаем

. ∆

Пример 4.3 Вычислить тройной интеграл , где - область, ограниченная поверхностями .

∆ Область можно представить в виде , где (рис. 4.7).

Рис. 4.7

Сводя тройной интеграл к повторному, получим

. ∆

Пример 4.4 Вычислить интеграл , где - область, ограниченная поверхностями .

∆ Область представляет собой конус (рис. 4.8).

Рис. 4.8

Область можно описать следующим образом: , где - круг радиуса 1 с центром в начале координат. Для удобства перейдем к цилиндрическим координатам по формулам (4.6). Уравнение конической поверхности в цилиндрических координатах примет вид: . Учитывая выражение подынтегральной функции в цилиндрических координатах

и значение якобиана (4.7), получим:

= =

= . ∆

Пример 4.5 Найти объем тела , ограниченного поверхностью и координатными плоскостями.

∆ Тело изображено на рис. 4.9.

Рис. 4.8

Для вычисления его объема удобно перейти к обобщенным сферическим координатам по формулам

.

Тогда уравнение поверхности примет вид: . Для переменных имеем следующие отрезки изменения: . Якобиан отображения равен:

.

Используя формулу (4.10) для объема тела в криволинейных координатах и вычисляя тройной интеграл с помощью перехода к повторному интегралу, получим

= . ∆