2 Вариант

1. В интеграле перейти к полярным координатам и свести к повторному двумя способами.

2. Найти площадь фигуры, ограниченную кривой

3. Вычислить тройной интеграл , где Т- область, ограниченная поверхностью .

4. Вычислить криволинейный интеграл первого рода , где L – граница треугольника с вершинами A(0,0), B(1,2), C(1,0).

5. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L – виток винтовой линии

Ответы:

1. 

3. 

4. 4,5+1,5

5. –π.

3 Вариант

1. Двойной интеграл , где G – область, ограниченная линиями x²+y²=2x и x²+y²=4x , свести к повторному в полярных координатах двумя способами.

2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .

3. Найти массу тела, ограниченного поверхностями , если плотность тела изменяется по закону .

4. Вычислить криволинейный интеграл первого рода , где L – окружность .

5. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L – окружность , двумя способами.

Ответы:

1. 

2. 

3. 15

4. 8

5. .

4 Вариант

1. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , где Т – тело, ограниченное поверхностями , перейдя к повторному в декартовых и цилиндрических координатах.

2. Вычислить двойной интеграл , где G – область, ограниченная кривыми .

3. Найти объем тела, ограниченного поверхностями .

4. Вычислить криволинейный интеграл первого рода где L – дуга параболы

5. Найдите функцию u(x,y) , если .

Ответы:

1. Например,

2. 

3. 

4. .

5. .

Уровень б

5 Вариант

1. Сведите двойной интеграл к повторному двумя способами, если

- область, ограниченная кривыми и .

2. Введя полярные координаты, вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми :

, , ( , ).

3. Найдите массу тела, ограниченного поверхностями : , , если

плотность измеряется по закону: .

4. Вычислить момент инерции массы, распределенной с постоянной линейной плотностью вдоль первого витка винтовой линии относительно оси ординат.

5. Вычислить площадь области, ограниченной кривой : объединение дуг окружности и параболы , с помощью криволинейного интеграла ( область содержит начало координат).

Ответы:

1. + + + , где ,

,

+ + , где ,

2. .

3. .

4. .

5. .

59