6. В аудитории.

1. Вычислить поверхностные интегралы 1-го рода:

1.1 , где - граница тела . (Д. 4344);

1.2 , где - часть поверхности , отсекаемая плоскостью (Д. 4346);

1.3 , где - часть конической поверхности , вырезанная поверхностью (Д. 4350).

2. Вычислить поверхностные интегралы 2-го рода:

2.1 , где - внешняя сторона сферы (Д. 4362);

2.2 , где - внешняя сторона эллипсоида .(Д. 4365).

3. Применяя формулу Стокса, вычислить:

3.1 , где есть эллипс: , пробегаемый в направлении возрастания параметра (Д. 4370);

3.2 , где есть кривая: , пробегаемая так, что ограниченная ею на внешней стороне сферы наименьшая область остается слева (Д. 4372).

4.

4.1 Применяя формулу Остроградского, преобразовать интеграл , полагая, что гладкая поверхность ограничивает конечный объем и - направляющие косинусы внешней нормали к поверхности . (Д. 4376)

4.2 Доказать, что объем тела, ограниченного поверхностью , равен , где - направляющие косинусы внешней нормали к поверхности . (Д. 4382)

4.3 Вычислить , где – часть конической поверхности и - направляющие косинусы внешней нормали к поверхности . (Д. 4390).

7. Задачи для самостоятельной работы.

1. Вычислить поверхностные интегралы 1-го рода:

1.1 , где - поверхность . (Д. 4343);

1.2 , где - граница тетраэдра .(Д. 4345);

1.3 , где - часть поверхности конуса и – постоянная (Д. 4349).

2. Вычислить поверхностные интегралы 2-го рода:

2.1 , где - внешняя сторона конической поверхности (Д. 4364);

2.2 , где - внешняя сторона сферы . (Д. 4366).

3. Применяя формулу Стокса, вычислить:

3.1 , где - эллипс: , пробегаемый против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси . (Д. 4371);

3.2 , где сечение поверхности куба плоскостью , пробегаемое против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси . (Д. 4373).

4. С помощью формулы Остроградского вычислить:

4.1 , где - внешняя сторона границы куба . (Д. 4387)

4.2 , где - внешняя сторона сферы . (Д. 4388)

Часть 2

Варианты контрольных работ по разделу

«Кратные и криволинейные интегралы»

УровеньА

1 вариант

1. а) Свести двойной интеграл к повторному двумя способами, если

- область, ограниченная кривыми и .

б) Перейти в этом же двойном интеграле к полярным координатам и свести его к

повторному двумя способами.

2. Вычислить двойной интеграл , где _}

_{3. Перейти к цилиндрическим координатам и вычислить объем тела, ограниченного поверхностями}

_{4. Вычислить криволинейный интеграл первого рода}

, где - арка циклоиды:

5. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L – меньшая часть окружности x²+y²=2x, от точки (0,0) до (1,1)

Ответы:

1. а)

б)

2. 10

3. 8π

4.

5. 1