3. Поляризация диэлектриков. Проводники. Конденсаторы. Емкость. Энергия электростатического поля

– электрический дипольный момент

– момент силы, действующий на диполь в электрическом поле

, – поляризованность (вектор поляризации) диэлектрика

, где – диэлектрическая восприимчивость диэлектрика

– вектор электрического смещения

, – определение емкости проводника, конденсатора

– емкость шара

– связь между напряженностью поля и напряжением на конденсаторе

– емкость плоского конденсатора

– общая емкость при параллельном соединении конденсаторов

– общая емкость при последовательном соединении конденсаторов

– энергия, приобретённая частицей в электрическом поле

– энергия заряженного проводника

– энергия заряженного конденсатора

– связь между консервативной силой и потенциальной энергией

– определение объемной плотности энергии поля

– объемная плотность энергии электростатического поля

Примеры решения задач

Задача 5

Н апряженность поля воздушного конденсатора, заряженного и отключенного от источника, равна E₀. В конденсатор параллельно обкладкам поместили пластину диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на гранях диэлектрика, выразить ее через поверхностную плотность свободных зарядов на обкладках конденсатора; найти напряженность поля в диэлектрике, а также напряженность поля, созданного только связанными зарядами; значение вектора электрического с мещения и поляризованности диэлектрика.

Решение

Напряженность поля в диэлектрике уменьшается по сравнению с напряженностью в вакууме в ε раз, поэтому

. (1)

Суммарное (полное) поле в диэлектрике складывается из поля свободных зарядов и связанных (индуцированных) : , но и направлены противоположно (см. рис.4), поэтому E=E₀–E′,

. (2)

Напряженность поля связанных зарядов можно выразить через поверхностную плотность связанных зарядов (напряженность поля конденсатора):

, (3)

тогда с учетом (2):

. (4)

Аналогично, напряженность поля только свободных зарядов , тогда из (4):

. (5)

Вектор электрического смещения , поэтому

. (6)

Далее, так как и векторы , и направлены одинаково, то:

. (7)

Можно выполнить проверку (7): по определению вектор поляризации равен суммарному дипольному моменту единицы объема вещества:

, (8)

а дипольный момент пластины диэлектрика равен произведению связанного заряда, локализованного на одной из граней , на плечо диполя – толщину пластины d, тогда

, (9)

так как объем пластины ΔV=S^.d. Из (4) и (9) получаем (7).

Ответ: ; ; ; ; ; .

Задача 6

Два одинаковых плоских воздушных конденсатора ёмкостью по 100 пФ каждый соединены в батарею последовательно. Определить, на сколько изменится ёмкость батареи, если пространство между пластинами одного из конденсаторов заполнить парафином с диэлектрической проницаемостью 2.

Решение

Общую ёмкость при последовательном соединении конденсаторов С₁ и С₂ можно: найти из формулы: . Поэтому общая ёмкость батареи, состоящей из двух одинаковых конденсаторов ёмкостью С₀ (до заполнения одного из конденсаторов парафином) равна: . После заполнения парафином одного из конденсаторов его ёмкость , а до заполнения была равна , то есть ёмкость возросла в ε раз: . Найдём новую общую ёмкость батареи: . Таким образом, изменение ёмкости батареи равно: . Подставим численные значения: .

Ответ: .

Задача 7

Электрическое поле создано заряженной (Q=0.2 мкКл) металлической сферой радиусом 5 см. Какова энергия поля, заключенного в сферическом слое, ограниченном сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой в 3 раза больше радиуса сферы?

Р ешение:

Энергию поля, заключенную в сферическом слое, будем находить через объемную плотность энергии, равную по определению

, (1)

а для энергии электростатического поля

. (2)

Напряженность электростатического поля, созданного уединенной металлической заряженной сферой, вне этой сферы (при r>R₀) такая же, как и напряженность поля точечного заряда, находящегося в центре сферы:

, (3)

причем будем считать, что ε=1 (поле в вакууме).

Из (1) – (3) следует, что энергия, заключенная в любом малом объеме dV, равна:

. (4)

Поскольку поле сферически симметрично, в качестве dV следует брать тонкий шаровой слой, концентрический данной сфере, с внутренним радиусом r, внешним радиусом (r+dr), тогда в пределах этого слоя значение напряженности можно считать одинаковым и равным (3). Объем слоя можно найти, перемножив площадь сферы на его толщину, так как слой тонкий:

. (5)

Наконец, искомую энергию находим, проинтегрировав (4) по объему, то есть в пределах R₀<r<R:

,

.

Ответ: W=2.4 мДж.

61. Диполь с электрическим моментом 100 пКл^.м свободно установился в однородном электрическом поле напряженностью 200 кВ/м. Определить работу внешних сил, которую необходимо совершить для поворота диполя на угол 180⁰.

62. Диполь с электрическим моментом 100 пКлм свободно устанавливается в однородном электрическом поле напряженностью 10 кВ/м. Определить изменение потенциальной энергии диполя при повороте его на угол 60.

63. Какой максимальный момент силы действует в электрическом поле с напряженностью 20 кВ/м на молекулу воды, обладающую дипольным моментом 3.7^.10^-29 Кл^.м?

64. О дна часть плоского конденсатора заполнена водой, другая – глицерином (рис.5). Во сколько раз поверхностная плотность связанных зарядов одного диэлектрика больше, чем другого? Диэлектрическая проницаемость воды 81, глицерина – 43.

65. В результате однородной поляризации на концах диэлектрика возникли связанные заряды с поверхностной плотностью 10^-10 Кл/м². Образец диэлектрика имеет форму цилиндра длиной 30 см и площадью поперечного сечения 1 см². Считая поляризованный диэлектрик диполем, найдите его электрический момент, а также напряженность электростатического поля в нем, его поляризованность и вектор электрического смещения. Диэлектрическая проницаемость диэлектрика равна 3.

66. Определить потенциал электрического поля точечного диполя, электрический момент которого 0.02 пКл^.м, в точке, лежащей на оси диполя на расстоянии 10 см от его центра со стороны положительного заряда.

67. Поле образовано точечным диполем с электрическим моментом 200 пКл^.м. Определить разность потенциалов двух точек поля, расположенных симметрично относительно диполя на его оси на расстоянии 40 см от центра диполя.

68. О дна часть плоского конденсатора заполнена водой, другая – глицерином (рис.6). Во сколько раз поверхностная плотность связанных зарядов одного диэлектрика больше, чем другого? Диэлектрическая проницаемость воды 81, глицерина – 43.

69. Два металлических шара радиусами 2 см и 6 см соединены проводником, емкостью которого можно пренебречь. Шарам сообщён заряд 1 нКл. Найти поверхностную плотность заряда на шарах.

70. Шар радиусом 6 см заряжен до потенциала 300 В, а шар радиусов 4 см до потенциала 500 В. Определить потенциал шаров после того, как их соединили металлическим проводником, ёмкостью которого можно пренебречь.

71. Определить потенциал, до которого можно зарядить уединённый металлический шар радиусом 10 см, если напряжённость поля, при которой происходит пробой воздуха, равна 3МВ/м. Найти также максимальную поверхностную плотность электрических зарядов перед пробоем.

72. Металлический шарик диаметром 2 см заряжен отрицательно до потенциала 150 В. Сколько электронов находится на поверхности шарика?

73. Проводящий шарик радиусом 3 см, находящийся в вакууме, заряжен до потенциала 3 кВ. Определить заряд шарика и поверхностную плотность заряда на нем. Какую работу совершит электрическое поле для перемещения пробного заряда 2 нКл из точки, отстоящей от поверхности шарика на 12 см, в точку, расположенную на 10 см дальше, считая по линии напряженности?

74. Тысяча одинаковых наэлектризованных дождевых капель слились в одну. Во сколько раз увеличилась электрическая энергия капли по сравнению с общей энергией тысячи мелких капель?

75. Тысячу одинаковых заряженных капелек ртути соединяют в одну каплю. Определить потенциал большой капли, поверхностную плотность заряда на ней и изменение электрической энергии, если потенциал каждой мелкой капли 10 В, радиус – 1 мм. Все капли шарообразны и до соединения находились далеко друг от друга.

76. Четыре одинаковых капли ртути, заряженных до потенциала 10 В, сливаются в одну. Каков потенциалов образовавшейся капли?

77. Два металлических шара имеют одинаковые заряды 1.0 нКл. После соединения шаров тонким проводником потенциал их стал равным 120 В. Определить радиус первого шара, если емкость второго 10 пкФ.

78. К онденсаторы с электроемкостями C₁=0.2 мкФ, C₂=0.1мкФ, C₃=0.3 мкФ, C₄=0.4 мкФ соединены так, как показано на рис.7. Определить электроемкость батареи конденсаторов.

79. Два одинаковых плоских воздушных конденсатора ёмкостью по 100 пФ каждый соединены в батарею последовательно. Определить, на сколько изменится ёмкость батареи, если пространство между пластинами одного из конденсаторов заполнить парафином с диэлектрической проницаемостью 2.

80. К онденсаторы с электроемкостями C₁=0.2 мкФ, C₂=0.6 мкФ, C₃=0.3 мкФ, C₄=0.5 мкФ соединены так, как показано на рис.8. Разность потенциалов между точками А и В равна 320 В. Определить разность потенциалов на пластинах каждого конденсатора.

81. Д ва конденсатора ёмкостями 5 мкФ и 8 мкФ соединены последовательно и присоединены к батарее с ЭДС 80 В. Определить заряд каждого конденсатора и разность потенциалов между обкладками.

82. Конденсаторы с электроемкостями C₁=2 мкФ, C₂=2 мкФ, C₃=3 мкФ, C₄= 1мкФ соединены так, как показано на рис.9. Разность потенциалов на обкладках четвертого конденсатора 100 В. Найти заряды и разности потенциалов на обкладках каждого конденсатора, а также общий заряд и разность потенциалов батареи конденсаторов.

83. На пластинах плоского конденсатора равномерно распределён заряд с поверхностной плотностью 0.2 мкКл/м². Расстояние между пластинами 1 мм. На сколько изменится разность потенциалов на его обкладках при увеличении расстояния между ними до 3 мм?

84. Между пластинами плоского конденсатора находится плотно прилегающая стеклянная пластина с диэлектрической проницаемостью 7. Конденсатор заряжен до разности потенциалов 100 В. Какова будет разность потенциалов, если вытащить из него стеклянную пластину?

85. Обкладки плоского конденсатора изолированы друг от друга пластиной из диэлектрика. Конденсатор заряжен до разности потенциалов 1000 В. Определить диэлектрическую проницаемость материала пластины, если при ее удалении разность потенциалов между обкладками конденсатора возрастет до 3000 В.

86. Плоский конденсатор состоит из двух круглых пластин радиусом 10 см каждая. Расстояние между пластинами 2 мм. Конденсатор присоединен к источнику напряжения 80 В. Определить заряд и напряженность поля конденсатора в двух случаях: диэлектрик – воздух; диэлектрик – стекло (ε=6).

87. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектрика: слоем стекла толщиной 2 мм и слоем парафина толщиной 3 мм. Напряжение на конденсаторе 300 В. Определить напряженность поля и падение потенциала в каждом из слоев.

88. Между пластинами плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов 600 В, находятся два слоя диэлектрика: стекло с диэлектрической проницаемостью 7 толщиной 7 мм и эбонит с диэлектрической проницаемостью 3 толщиной 3 мм. Площадь каждой пластины конденсатора 200 см². Найти: а) электроёмкость конденсатора; б) напряжённость поля и падение потенциала в каждом слое.

89. Расстояние между пластинами плоского конденсатора равно 1.33 мм, площадь пластин 20 см². В пространстве между пластинами находятся два слоя диэлектрика: слюда толщиной 0.7 мм с диэлектрической проницаемостью 7 и эбонит толщиной 0.3 мм с диэлектрической проницаемостью 3. Определить электроёмкость конденсатора.

90. Электроёмкость плоского конденсатора 1.5 мкФ, расстояние между обкладками 5 мм. Какова будет электроёмкость конденсатора, если на нижнюю обкладку положить лист эбонита с диэлектрической проницаемостью 3 и толщиной 3 мм?

91. Два одинаковых плоских воздушных конденсатора соединили последовательно в батарею, которая подключена к источнику с ЭДС 12 В. Определить, на сколько изменится напряжение на одном из конденсаторов, если другой погрузить в трансформаторное масло. Диэлектрическая проницаемость трансформаторного масла 2.2.

92. В плоский конденсатор вдвинута пластинка парафина толщиной 1 см с диэлектрической проницаемостью 2. Пластинка вплотную прилегает к обкладкам. На сколько нужно увеличить расстояние между обкладками, чтобы получить прежнюю ёмкость?

93. Между обкладками плоского конденсатора параллельно им введена металлическая пластина толщиной 8 мм. Определить емкость конденсатора, если площадь каждой обкладки 100 см², а расстояние между ними 10 мм.

94. В плоском конденсаторе находятся два слоя диэлектрика с диэлектрическими проницаемостями ₁=3 и ₂=2. Толщина слоев d₁=d₂=4 мм. Конденсатор заряжен до разности потенциалов 100 В. Найти в каждом слое: напряженность Е электростатического поля; вектор электрического смещения D; поляризованность Р диэлектрика; разность потенциалов Δφ.

95. Два проводящих шара, радиусы которых 10 см и 25 см, имели электрические заряды 2 нКл и 5 нКл соответственно. Каким будет потенциал шаров после их соединения очень тонким проводником?

96. Сто одинаковых капель ртути, заряженных до потенциала 20 В, сливаются в одну большую каплю. Каков потенциал образовавшейся капли?

97. Металлический шар радиусом 10 см заряжен до потенциала 300 В. Определить потенциал этого шара в двух случаях: а) после того, как окружат его сферической проводящей оболочкой радиусом 15 см и на короткое время соединят с ней проводником; б) если его окружить сферической проводящей заземлённой оболочкой радиусом 15 см.

98. Два металлических шарика радиусами 5 с и 10 см имеют 40 нКл и -20 нКл соответственно. Найти энергию, которая выделится при разрядке, если шары соединить проводником.

99. Шару радиусом 10 см сообщен заряд 80 нКл, равномерно распределенный по поверхности шара. Определить энергию поля, созданного шаром в вакууме.

100. Три конденсатора, электрические емкости которых 3, 6 и 9 мкФ, соединены последовательно и подсоединены к источнику постоянного напряжения 220 В. Определить электрическую емкость батареи, общий заряд, заряды на каждом конденсаторе, напряжение на каждом конденсаторе и энергию, запасенную батареей.

101. Три конденсатора, электрические емкости которых 3, 6 и 9 мкФ, соединены параллельно и подсоединены к источнику постоянного напряжения 220 В. Определить электрическую емкость батареи, общий заряд, заряды на каждом конденсаторе, напряжение на каждом конденсаторе и энергию, запасенную батареей.

102. Плоский конденсатор состоит из двух круглых пластин радиусом 10 см каждая. Расстояние между пластинами 1 см. Конденсатор зарядили до разности потенциалов 1.2 кВ и отключили от источника тока. Какую работу нужно совершить, чтобы, удаляя пластины друг от друга, увеличить расстояние между ними до 3.5 см?

103. Плоский воздушный конденсатор электроёмкостью 1.11 пФ заряжен до разности потенциалов 300 В. После отключения от источника тока расстояние между пластинами было увеличено в 5 раз. Определить: а) разность потенциалов на обкладках конденсатора после их раздвижения; б) работу внешних сил по раздвижению пластин.

104. Конденсатор ёмкостью 666 пФ зарядили до разности потенциалов 1.5 кВ и отключили от источника тока. Затем к нему присоединили параллельно второй незаряженный конденсатор ёмкостью 444 пФ. Определить энергию, израсходованную на образование искры, проскочившей при соединении конденсаторов.

105. Какое количество теплоты выделится при разрядке плоского конденсатора, если разность потенциалов между пластинами равна 15 кВ, расстояние 1 мм, диэлектрик – слюда с диэлектрической проницаемостью 7 и площадь каждой пластины 300 см²?

106. Электроёмкость плоского конденсатора равна 111 пФ. Диэлектрик – фарфор с диэлектрической проницаемостью 5. Конденсатор зарядили до разности потенциалов 600 В и отключили от источника напряжения. Какую работу нужно совершить, чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора (трением пренебречь)?

107. Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см² присоединён к источнику с напряжением 300 В. Какую работу нужно совершить, чтобы увеличить расстояние между обкладками с 3 мм до 6 мм?

108. Конденсатор емкостью 3 мФ был заряжен до разности потенциалов 40 В. После отключения от источника тока к конденсатору подключили параллельно другой незаряженный конденсатор емкостью 5 мФ. Какое количество энергии первого конденсатора израсходуется на образование искры в момент присоединения?

109. Определить работу, которую надо затратить, чтобы увеличить на 2 мм расстояние между пластинами плоского воздушного конденсатора, заряд которого 20 мкКл. Площадь пластины 40 см².

110. Расстояние между пластинами плоского воздушного конденсатора площадью 50 см² изменяется от 3 мм до 10 мм. Конденсатор заряжен до 200 В и отключен от источника. Найти изменение энергии поля конденсатора. Чему равна работа по раздвижению пластин?

111. Расстояние между пластинами плоского воздушного конденсатора площадью 50 см² изменяется от 3 см до 10 см. Конденсатор подключен к источнику напряжения 200 В. Найти изменение энергии поля конденсатора. Чему равна работа по раздвижению пластин?

112. Расстояние между пластинами плоского конденсатора равно 2 см, разность потенциалов 6 кВ, заряд каждой пластины 10 нКл. Вычислить энергию поля конденсатора и силу взаимного притяжения пластин.

113. Найти силу притяжения между пластинами плоского конденсатора, если площадь пластин 40 см², расстояние между ними 10 мм. Диэлектрик – стекло с диэлектрической проницаемостью 6. Расчет провести для случая, когда конденсатору сообщен заряд 40 мкКл, после чего он отключен от источника постоянного напряжения.

114. Две круглые металлические пластины радиусом 10 см каждая, заряженные разноимённо, расположены одна против другой параллельно друг другу и притягиваются с силой 2 мН. Расстояние между пластинами равно 1 мм. Определить разность потенциалов между пластинами.

115. Две одинаковые круглые пластины площадью 400 см² каждая расположены параллельно друг другу. Заряд одной пластины 400 нКл, другой – (-200)нКл. Определить силу взаимного притяжения пластин в случаях, когда расстояние между ними: а) 3 мм; б) 10 м.

116. Сила взаимного притяжения между пластинами плоского воздушного конденсатора равна 50 мН. Площадь каждой пластины 200 см². Найти плотность энергии поля конденсатора.

117. Плоский конденсатор с площадью пластин 200 см² каждая заряжен до разности потенциалов 2 кВ. Расстояние между пластинами 2 см. Диэлектрик – стекло с диэлектрической проницаемостью 7. Определить энергию поля конденсатора и плотность энергии поля.

118. Две концентрические сферические поверхности, находящиеся в вакууме, заряжены одинаковым положительным зарядом 3 мкКл. Радиусы сфер 1 м и 2 м. Найти энергию электрического поля, заключенного между этими сферами.

119. Пластину из эбонита толщиной 2 мм и площадью 300 см² поместили в однородное электрическое поле напряжённостью 1 кВ/м, расположив так, что силовые линии перпендикулярны её плоской поверхности. Найти: а) плотность связанных зарядов на поверхности пластин; б) энергию электрического поля, сосредоточенную в пластине.

120. Уединённая металлическая сфера ёмкостью 10 пФ заряжена до 3 кВ. Определить энергию поля, заключенного в сферическом слое, ограниченном сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой равен трём радиусам сферы.