Лабораторная работа. Расчет статистических характеристик большой выборочной совокупности через моменты Расчет моментов
Моментом распределения называется среднее из отклонений индивидуальных значений признака от определенной величины. Показатель степени определяет порядок момента, например, первая степень показывает, что рассчитывается момент первого порядка, вторая степень – рассчитывается момент второго порядка и т.д. На практике используют, как правило, только моменты четырех порядков.
Понятие моментов случайной величины является обобщением основных числовых характеристик случайных величин. Различают моменты двух видов: начальные и центральные.
Таблица 6
Расчет начальных моментов
х |
n |
Ах |
а |
an |
a2n |
a3n |
a4n |
9,95 |
6 |
|
-3 |
-18 |
54 |
-162 |
486 |
11,65 |
18 |
|
-2 |
-36 |
72 |
-144 |
288 |
13,35 |
22 |
|
-1 |
-22 |
22 |
-22 |
22 |
15,05 |
31 |
15,05 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16,75 |
25 |
|
1 |
25 |
25 |
25 |
25 |
18,45 |
20 |
|
2 |
40 |
80 |
160 |
320 |
20,15 |
17 |
|
3 |
51 |
153 |
459 |
1377 |
21,85 |
4 |
|
4 |
16 |
64 |
256 |
1024 |
23,55 |
3 |
|
5 |
15 |
75 |
375 |
1875 |
|
146 |
|
|
71 |
545 |
947 |
5417 |
В этой таблице Ах – условное среднее значение, за которое принимается среднее значение класса с наибольшим числом вариант,
а – начальное отклонение – рассчитывается по формуле:
,
где k
- величина
классового интервала (размер класса).
Начальный момент первой степени равен:
Начальный момент второй степени равен:
Начальный момент третьей степени равен:
Начальный момент четвертой степени равен:
При расчете начальных моментов необходимо соблюдать высокую точность, так как ошибка при округлении повлечет за собой неверные расчеты всех характеристик выборочной совокупности.
Расчет центральных и основных моментов
Центральные моменты рассчитываются с использованием начальных.
Центральный момент
первой степени всегда равен нулю,
поскольку вычисляется как
Центральный момент второй степени рассчитывается через начальные моменты по формуле:
Центральный момент третьей степени рассчитывается через начальные моменты по формуле:
Центральный момент четвертой степени рассчитывается через начальные моменты по формуле:
Для практического применения рассчитываются основные моменты статистических величин, которые характеризуют отклонение фактических данных от нормального типа распределения:
;
;
Основной момент третьей степени характеризует асимметричность распределения, а основной момент четвертой степени – крутость графика распределения.