Последовательность действий:

1. З аготовьте таблицу для решения СЛАУ (3.1), как показано на рис.3.2.

Рис 3.2. Решение СЛАУ с помощью надстройки

2. Заготовьте ячейки А7:С7, где будет сформировано решение системы (х₁, х₂, х₃). Первоначально они остаются пустыми, т.е. равными нулю. Однако для контроля правильности вводимых далее формул, удобно ввести в эти ячейки какие-либо значения, например единицы. Эти значения можно рассматривать как нулевое приближение решения системы, .

3. Введите коэффициенты системы (матрицу А) в ячейки А3:С5.

4. В столбец D введите выражения для вычисления левых частей исходной системы . Для этого можно использовать функцию СУММПРОИЗВ, из категории Математические.

5. В столбец Е запишите значения правых частей системы (матрицу В).

6. В столбец F введите невязки в соответствии с формулой (3.2). Будет не лишним проверить правильность вычислений для случая .

7. Выберите вкладку Данные, панель Анализ и нажмите кнопку Поиск решения.

8. В окне Поиск решения (рис.3.3) в поле Изменяемые ячейки укажите блок $А$7:$С$7, а в поле Ограничения – $F$3:$F$5=0. Для этого надо щелкнуть на кнопке Добавить и ввести эти ограничения. Щелкните на кнопке Выполнить.

Рис. 3.3. Окно Поиск решения

Решение системы (3.1.) х₁=1; х₂=-1 х₃=2 получено в ячейках А7:С7, рис.3.2.

Сравните результаты решения с полученным выше решением этой же системы .

Задание 3.3. Решите СЛАУ итерационным методом Якоби с заданной точностью . Проанализируйте сходимость итерационного процесса в зависимости от =0,1;. 0,01;.. 0,001.

Порядок выполнения работы

1. Для расчета используйте СЛАУ из задания 3.1.

2. Решите СЛАУ методам Якоби с точностью =0,01. Если итерационный процесс получился расходящимся, преобразуйте исходную систему к виду, пригодному для построения итерационного процесса, т.е. к системе с «преобладанием диагональных элементов» матрицы системы. ПОДУМАТЬ ЕЩЕ

3. Проверьте правильность сделанных преобразований, решив обе СЛАУ с использованием надстройки Поиск решения.

4. Решите вручную систему методам Якоби, вычислив три итерации. В качестве нулевого приближения возьмите нулевой вектор _. Сделайте вывод о продолжении или прекращении итерационного процесса для =0,1.

5. Решите систему методам Якоби, используя приложение Excel. Расчетная схема приведена на рис.3.4.

6. Исследовательская часть (численный эксперимент). Проанализируйте характер полученных решений для различных значений  =0,1; 0,01; 0,001.

7. . Проследите сходимость итерационного процесса, построив графики изменения каждой компоненты решения в зависимости от номера итерации (рис.3.5 или рис.3.6).

Пример решение слау методом Якоби

Пример 3.2.

Найти решение СЛАУ (3.3) методом Якоби.

(3.3)

Прежде всего, убеждаемся, что итерационный метод Якоби можно использовать для заданной системы(3.3), т.к. выполняется условие «преобладания диагональных коэффициентов» матрицы системы, что обеспечивает сходимость метода, т.е.

(3.4)

Приведите систему(3.3) к нормальному виду:

, (3.5)

или в матричной форме

,

где

,

Расчетная схема метода Якоби приведена на рис (3.4).

На практике итерационный процесс продолжается до тех пор, пока два соседних приближения не станут достаточно близкими.

Критерий близости двух приближений может быть определен следующим образом:

• Рассмотрим вектор разности двух соседних итераций _;

• Если норма этого вектора удовлетворяет условию

(3.6)

или

то итерационный процесс прекращается и за приближенное решение системы (3.3) с заданной точностью  принимается k-ое приближение, т.е.

(3.7)

Для проверки выполнения условия (3.6) используйте «условное форматирование» (рис.3.4)

Е сли условие (3.6) не выполнено, то итерационный процесс необходимо продолжить.

Рис.3.4. Расчетная схема метода Якоби

Анализируя результаты, принимаем за приближенное решение исходной системы с точностью  четвертую итерацию,

т.е. х₁=1,0216; х₂= 2,0225, х₃= 0,9912

Изменяя значение  в ячейке Н5 можно получить новое приближенное решение исходной системы с новой точностью.

Проанализируйте сходимость итерационного процесса, построив графики (рис.3.5) изменения каждой компоненты вектора решения СЛАУ в зависимости от номера итерации.

Рис. 3.5. Иллюстрация сходимости итерационного процесса

Иллюстрация расходящегося процесса представлена на рис.3.6.

Рис. 3.6. Иллюстрация расходящегося итерационного процесса