6.5. Дискретное представление сигналов. Теорема Котельникова

Если в спектре сигнала нет составляющих с частотой выше , то такая частота называется предельной частотой в спектре сигнала и её спектральная плотность на частотах выше равна нулю ( , при ).

Один из вариантов представления сигналов в виде (6.3) – разложение их по функциям (sinc (x), см. рис.6.5), получившее широкое распространение в связи с научными работами Котельникова В.А. (1933 год).

Рис. 6.5. График функции sinc x=(sin x)/x

Соответствующая теорема (В.А. Котельникова) гласит: если наивысшая частота в спектре функции меньше , то функция полностью определяется последовательностью своих мгновенных значений через интервалы времени, не превышающие .

Сигнал может быть точно восстановлен согласно выражению, называемому рядом Котельникова:

(6.40)

Первые множители слагаемых в (6.40) представляют собой отсчеты сигналов в момент времени , вторые - функцию вида . В действительности отсчеты мгновенных значений сигналов могут быть сделаны лишь в интервале наблюдения , где n и m – целые числа. В соответствии с этим сигнал восстанавливается не по (6.40), а с некоторой погрешностью рядов вида:

(6.41)

Все реальные радиоэлектронные устройства имеют ограниченную полосу пропускания, и определение частоты не представляет особых трудностей. Основываясь на теореме Котельникова, в большом числе практически важных случаев можно регистрировать только мгновенные значения сигнала и впоследствии восстановить этот сигнал полностью с заранее известной погрешностью.

Представление непрерывного сигнала рядом вида (6.41) – один из способов дискретизации сигнала. В некотором смысле Фурье-разложение периодического сигнала, например представление его в виде (6.9), также является дискретизацией, так как непрерывная совокупность значений заменяется при этом дискретным набором амплитуд и фаз гармоник. Принципиальное отличие дискретизации с использованием ряда (6.40) заключается в том, что отсчеты мгновенных значений сигнала производятся непосредственно в процессе его поступления на вход преобразующего устройства, а для представления в виде (6.9) необходимо предварительно полностью зарегистрировать сигнал. Иными словами, для вычитания и или нужно знать (см.(8.8), (6.10), (6.16)), а для определения этого не требуется.

Полученные в результате дискретизации мгновенные значения сигнала могут быть любыми в диапазоне от до и относиться, таким образом, к непрерывному множеству значений. Переход от этого непрерывного множества к конечному набору дискретных значений называют квантованием. При квантовании в диапазоне фиксируется ряд дискретных уровней . Наиболее широко распространены устройства квантования с одинаковыми расстояниями между соседними уровнями .

6.6. Преобразования Лапласа

Соотношение (6.16) является частным случаем преобразования вида

(6.42)

Функция называется ядром. Для Фурье-преобразования ядром является функция вида .

Допускающие преобразование Фурье функции называются оригиналами, а функции, получающиеся в результате преобразования, - изображениями по Фурье.

Если выбрать ядро вида , (6.43)

то аналог Фурье-преобразования (6.16) запишется как

(6.44)

Равный нулю нижний предел интегрирования обусловлен предположением, что при . Интегральное преобразование (6.44), получило название в радиоэлектронике, преобразование Лапласа и имеет широкое применение благодаря тому, что интеграл (6.44) сходится практически во всех случаях, в том числе и когда не является абсолютно интегрируемой, т. е. когда преобразования Фурье не применимо. Физически это легко объяснимо, так как функция ( (6.40) , представляет собой математическое описание затухающих колебаний. Преобразованный по Лапласу сигнал , или изображение в виде F(p), может рассматриваться как условный спектр функции . При этот условный спектр переходит в спектр Фурье .

Аналог обратного преобразования Фурье (6.17) применительно к (6.44) – интегральное соотношение

(6.45)

Отметим, что свойства изображений по Лапласу могут существенно отличаться от свойств оригинала (сигнала). Разрывные функции могут, например, трансформироваться в непрерывные. Единичная ступенька при t=0 непосредственным интегрированием преобразуется в (при ). Подобным образом можно найти и изображения других функций, однако к непосредственному интегрированию прибегают редко, так как изображения большого количества функций-оригиналов табулированы и их можно найти в математических справочниках. По этим же таблицам в большинстве случаев можно определить и , не прибегая к вычислениям по (6.45).

Преобразования Фурье и Лапласа, т. е. замена напряжений и токов их изображениями, позволяет преобразовать дифференциальные или интегродифференциальные уравнения, описывающие процессы в электрических цепях, в алгебраические. Решив такое алгебраическое уравнение, получим искомый сигнал в виде изображения в области мнимых или комплексных частот. Обратные преобразования (6.17) или (6.45) дают возможность трансформировать эти изображения во временную область, т. е. определить форму искомого сигнала.