МІНІСТЕРСТВО ТРАНСПОРТУ ТА ЗВ’ЯЗКУ

Державний департамент з питань зв’язку та інформатизації України

ДЗ «Київський коледж зв’язку»

ПОГОДЖЕНО ЗАТВЕРДЖЕНО

Цикловою комісією КСМ Заступник директора з НР

Голова комісії ______ А.Ю. Лойкова ___________ В.С. Шматко

„___” ____________ 20__р. „___” ___________ 20__р.

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛОГІЧНИХ ВИРАЗІВ

Опис практичної роботи №1

з предмету: «Обчислювальна техніка та мікропроцесори»

(Методичні вказівки)

Розробив викладач

___________ Лойкова А.Ю.

„___” ___________ 20___р.

Київ

1. МЕТА РОБОТИ :

1.1. Вивчити і практично закріпити основні теоретичні положення лекційного матеріалу:

- вивчити правила і закони алгебри логіки;

- закріпити знання про перетворення логічних виразів методами Квайна і діаграм Вейча.

2. ОCHOBHI ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

2.1. Цифрові (логічні) схеми працюють в режимі двійкового рахунку, де кожна вхідна і вихідна напруги представлені логічним 0 або 1, символи 0 і 1 представляють наказані їм рівні напруги 0-низький, 1-високий рівень напруги. Ця особливість логічних схем дозволяє скористатись бульовою алгеброю для аналізу і проектування цифрових систем. Бульова алгебра – це математичний апарат, що дозволяє описати зв'язки між виходами і входами логічних схем за допомогою алгебраїчних рівнянь (бульовими виразами).

Бульову функцію можна задати трьома способами:

• змістовно ( словесний опис);

• таблично (таблиця істинності);

• алгебраїчно.

Алгебраїчний спосіб задання бульової функції представляє собою формулу зв'язану простішими логічними операціями І, АБО, НЕ, І-НЕ, АБО-НЕ (табл. 1).

Способи задания бульового виразу.

Таблиця 1

Логічна операція (назва функції)	Задання функції формулою	Таблиця істинності
		входи		виходи
		Х2	Х1	f(х1,х2)
І (кон’юнкція, логічне множення)	f(х1,х2)= х1*х2; f(х1,х2)= х1х2 f(х1,х2)= х1х2 f(х1,х2...хn)= х1х2... хn	0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1
АБО (диз’юнкція, логічне додавання)	f(х1,х2)= х1+х2 f(х1,х2)= х1х2 f(х1,х2...хn)= х1х2...хn	0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 1
НЕ (інверсія, заперечення)			0 1	1 0
І-НЕ (функція Шеффера)	f(х1,х2)= х1|х2	0 0 1 1	0 1 0 1	1 1 1 0
АБО-НЕ (функція Пирса)	f(х1,х2)= х1+х2	0 0 1 1	0 1 0 1	1 0 0 0

Алгебраїчний запис логічного виразу може бути громіздким, і побудова логічної схеми за даним виразом буде неекономною. Тому перш за все необхідно спростити логічний вираз, використовуючи метод тотожних перетворень, які базуються на послідовному використанні відповідно до формули законів і правил тотожних перетворень алгебри логіки, таблиця 2.

Основні співвідношення алгебри Буля Таблиця 2

№ п/п	Логічне додавання (а)	Логічне множення (b)	Співвідношення алгебри Буля
			закон	правило
1	х1х2= х2 х1	х1х2= х2х1	переставний
2	(х1х2)х3= х1(х2х3)	(х1х2)х3= х1(х2х3)	сполучний
3	(х1х2)х3=х1х3 х2х3	х1(х2х3)=(х1х2)(х1х3)	розподільний
4				де Моргана
5	х0= х	х*1=х		повторення
6	х1= х	х*0=0
7	хх= х	х*х=х
8	хх= 1	х*х=0
9	х1х2 х1х2= х1(х2х2)=х1	(х1х2)(х1х2)=х1		склеювання
10	х1 х1х2= х1	х1(х1х2)= х1		поглинання
11			інверсія
12			подвійне заперечення
13	f(x)=x		повторення

Розглянемо процес спрощення виразів на прикладах.

Приклад 1. Логічна функція від трьох змінних f(х₁,х₂,х₃)=х₁х₂ х₁х₂ х₂х₃х₁х₂

спрощується наступним способом:

за правилом 7а

за правилом 9а

У результаті перетворення логічна функція має вид

Приклад 2. Відома логічна функція

Спрощуємо;

по закону 3а

за правилом 7b

за правилом 13

по закону 6а

У результаті одержуємо

Процес спрощення логічного виразу, який оснований на тотожних перетвореннях носить назву мінімізація.

Розрізняють алітичні і табличні методи мінімізації. Для запису однієї і тієї ж функції алгебри логіки можна використовувати канонічні форми представлення функцій:

- доскональна диз'юнктивна нормальна форма(ДДНФ);

- доскональна кон'юнктивна нормальна форма(ДКНФ).

ДДНФ визначається як сума елементарних добутків, в яких кожна зміна зустрічається рівно один раз або з запереченням, або без нього, наприклад:

ДКНФ визначається як добуток елементарних сум, в яких кожна змінна зустрічається рівно один раз або з запереченням, або без нього, наприклад:

2.2. Мінімізація методом Квайна.

Мінімізацію по Квайну потрібно починати із ДДНФ функції. Якщо функція задається в довільній формі, то її необхідно перетворити до ДДНФ.

Для цього член в записі функції, який не містить якого-небудь аргумента, множимо на логічну одиницю , і таким чином одержуємо два члена, які містять весь набір аргументів, а потім до функції застосовуємо операції склеювання і поглинання, щоб одержати скорочену ДНФ функцію.

Розглянемо етапи мінімізації логічної функції , заданій в ДДНФ.

В даній функції - об'єднуємо елементарні добути, отримаємо - , маємо .

У результаті застосування правила склеювання у виразі логічної функції зменшується число підсумовуваних добутків і число змінних.

Таким чином, мінімізація функцій Буля проводиться за допомогою законів і теорем алгебри логіки, теореми де Моргана, закона подвійного заперечення і правил поглинання і склеювання.

2.3. Мінімізація функцій Буля за допомогою карт Карно (табличний метод).

Карта Карно — це прямокутник, розбитий на квадрати (комірки), число яких дорівнює 2ⁿ , де n- число логічних змінних. Структура карт Карно для 2-х, 3-х, 4-х змінних показана на мал. 3.

Карти Карно

Мал.З а) для функції 2-х аргументів;

б) для функції 3-х аргументів;

в) для функції 4-х аргументів;

Комірки карти відповідають значенням вхідних змінних. Наприклад, верхній рядок карти для функції 3-х змінних відповідає "1", тобто значення х₁=1, а нижній рядок - нульовому значенню х₁=0 кожний стовпчик характеризується значенням двух змінних х₂ і х₃.

Для табличної заданої функції у комірки карта Карно проставляють значення функції для відповідних наборів аргументів, мал.4.

Пошуки мінімальної форми функції зводяться до визначення областей, які містять по 2k комірок, де 2- число, k-ціле число (0, 1, 2...). В області об'єднуються сусідні комірки, які відповідають сусіднім елементарним добуткам мал. 4.

Мал. 4

Такій мінімізації відповідає вираз: . Карти Карно можна уявно звертати, що дасть змогу побачити найбільш короткі імплеканти результуючі кон'юнкції, мал.5.

Карти Карно і мінімальний запис логічних функцій:

Мал. 5 а- для 3-х змінних, б,в- для 4-х змінних

Аналізуючи карти Карно, мал. 5, бачимо, що одна і таж комірка ( наприклад, комірка з координатами х₂х₃) може покриватися два або декілька разів. Таким чином, формула, одержана в результаті мінімізації логічної функції за допомогою карт Карно, містить суму стількох елементарних добутків, скільки областей є в карті. Чим більше комірок в області, тим меньше змінних міститься у відповідному йому симентарному добутку.

3. ДОМАШНЕ ЗАВДАННЯ:

1. Вивчити відповідний теоретичний матеріал по підручнику п.1ст. 101,102,123,126

2. Підготувати відповіді на наступні запитання:

3.2.1. Записати довільну кон'юнкцію для логічної функції 5-ти змінних.

3.2.2. Довести тотожність, відмічаючи закон і правила алгебри логіки застосовувані на кожному кроці перетворення: .

3.2.3.Проаналізувати відповідні таблиці, вибрати правильну відповідь і записати її.

Таблиця 3

Питання	Відповідь
1.Зробити мінімізацію логічних функцій 0 0 1 0 1 0 1 1	1. 2. 3. 4. 5.
2. 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0	1. 2. 3. 4. 5.

3.3. Заготовити звіт по даній роботі, для чого записати:

• номер практичної роботи,

- назву практичної роботи,

• мету;

• письмово відповісти yа запитання домашнього завдання п.п. 3, 4, 5.

4. ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ:

4.1. По заданому варіанту таблиці 4,5 перетворити логічний вираз:

• методом Квайна;

• методом Карно.

2. Порівняти отримані результати.

3. Відповісти на контрольні запитання.

4. Зробити висновки по роботі.

5 КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ:

1. Які основні розпізнавальні особливості логічних змінних?

2. Назвіть основні закони алгебри логіки.

3. Які існують способи задания логічних функцій?

4. Використовуючи основні закони алгебри (Бульової), спростити наступні вирази:

a).

б).

в)

5.5.Отримайте заперечення наступних виразів:

a).

б).

в).

Таблиця 4

			f(x1x2x3)
х1	х2	х3	f1	f2	f3	f4	f5	f6	f7	f8	f9	f10	f11	f12
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	1 0 0 1 0 0 1 1	0 1 1 1 0 1 0 1	1 0 1 0 0 0 1 0	0 1 1 1 1 1 0 0	0 1 1 0 0 1 1 1	0 1 0 1 0 0 1 0	1 1 0 0 1 1 1 0	0 0 1 0 1 1 1 1	1 0 1 1 0 1 1 0	1 1 1 0 1 0 0 1	0 1 1 0 1 0 1 1	1 1 0 1 1 1 0 0

Таблиця 5

			f(x1x2x3)
х1	х2	х3	f13	f14	f15	f16	f17	f18	f19	f20	f21	f22	f23
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 0 1 1 0 1 0 1	0 1 1 0 0 1 1 1	1 0 0 0 1 1 1 0	1 1 1 0 0 1 0 0	1 1 0 0 1 1 0 1	0 0 0 1 1 1 0 1	0 1 0 1 0 1 1 0	1 0 1 1 1 0 0 1	0 0 1 0 0 1 1 1	1 1 1 0 1 0 1 0	1 0 1 1 1 0 1 0

6. ЛІТЕРАТУРА

6.1. Калабеков Б.А., Мамзелев Н.А. "Цифрові пристрої та мікропроцесорні системи" М. Радіо і звязок, 1987р.

6.2. Скаржева В.А., Луценко А.Н. "Електроніка та мікросхемотехніка"(2ч.) Київ, Вища школа, 1978р.