Контрольні питання до розділу 1.3

1. Чи можливе в принципі порушення умов стійкості положення термодинамічної рівноваги?

2. Який з можливих станів рівноваги системи називають термодинамічною гілкою? Наведіть кілька прикладів.

3. За яких умов термодинамічна гілка може стати нестійкою? Наведіть кілька прикладів.

4. Поясніть якісно, чому в реакціях автокаталітичного типу надлишкове виробництво ентропії виявляється від’ємним. Як це узгоджується з другим початком термодинаміки?

5. Порівняйте між собою характер втрати стійкості системи при біфуркації Андронова - Хопфа та при біфуркації Тюрінга.

6. До якого класу належать хімічні реакції, що протікають у брюсселяторі? Які реальні аналоги брюсселятора?

7. Чому брюсселятор зараховують до реакцій автокаталітичного типу?

8. Який характер може носити втрата стійкості в орегонаторі?

Задачі до розділу 1.3

1.3.1. Розрахувати надлишкове виробництво ентропії в хімічній реакції , що протікає в ідеальному газі. Чи може воно бути від’ємним?

1.3.2. Показати, що в хімічній реакції , продукти якої відразу видаляються з реактора, а концентрація речовин та підтримується незмінною, одночасна варіація концентрацій цих речовин не може порушити термодинамічну стійкість системи.

1.3.3. Знайдіть надлишкове виробництво ентропії в реакції при одночасній варіації концентрацій речовин та . За якої умови воно може стати від’ємним? Дайте фізичну інтерпретацію отриманого результату.

1.3.4. Хімічна реакція (так звана модель Шльогля¹⁶) має вигляд

Вважаючи, що концентрації речовин і підтримуються сталими, розрахуйте надлишкове виробництво ентропії в цій реакції.

1.3.5. За яких умов просторово однорідний стан брюсселятора буде стійким за відсутності дифузії? Який характер може мати втрата стійкості такого стану?

1.3.6. Дослідіть режим періодичних квазігармонічних коливань у брюсселяторі без дифузії, користуючись узагальненим рівнянням Релея. Запишіть частоту малих коливань та умову квазігармонічності. Знайдіть закон неізохронності та усталену амплітуду коливань.

1.3.7. Дослідіть релаксаційні автоколивання брюсселятора без дифузії, користуючись узагальненим рівнянням Релея. Побудуйте їхній фазовий портрет.

1.3.8. Побудуйте фазові портрети узагальненого рівняння Релея для різних значень параметрів брюсселятора, користуючись числовими методами.

1.3.9*. За аналогією з розв’язанням задачі 1.3.6 знайдіть амплітуду стаціонарної структури в одновимірному брюсселяторі завдовжки , вважаючи її форму квазігармонічною та поклавши . Вважайте, що на межах брюсселятора виконані умови . При яких значеннях параметрів та вона може існувати? Коли буде чинним побудований таким методом розв’язок?

1.3.10*. Розрахувати надлишкове виробництво ентропії в брюсселяторі за відсутності дифузії.

1.3.11*. Характеристичне рівняння для параметра , який характеризує стійкість положення рівноваги системи щодо малих відхилень, має вигляд . В тривимірному просторі виділіть характерні області стійкості та нестійкості й дослідіть можливі переходи між ними.

1.3.12*. Для одновимірної моделі брюсселятора, користуючись числовими методами, побудувати розв’язок, що відповідає формуванню періодичної структури. Дослідити залежність поведінки розв’язку від параметрів моделі, зокрема, від довжини системи. Порівняйте результати числового розрахунку з аналітичним розв’язком задачi 1.3.9.

1.3.13*. Для двовимірної моделі брюсселятора (колова область), користуючись числовими методами, побудувати розв’язок, що відповідає

а) розподіленим автоколиванням системи;

б) формуванню періодичної структури.

Дослідити залежність поведінки розв’язку від параметрів системи, зокрема, від її радіусу.

1.3.14. Характеристичне рівняння для декрементів (інкрементів) , що характеризують малі відхилення від стану рівноваги в орегонаторі, має форму

,

де коефіцієнти визначаються параметрами моделі. Знайдіть, при яких значеннях цих коефіцієнтів в орегонаторі матиме місце

а) біфуркація Андронова - Хопфа;

б) біфуркація Тюрінга.

1 Б.П. Бєлоусов (Борис Павлович Белоусов, 1893 - 1970) – російський військовий хімік, комбриг (генерал-майор), лауреат Ленінської премії (посмертно, 1980). Уславився експериментальним відкриттям хімічних реакцій коливного типу.

2 А.М. Жаботинський (Анатолий Маркович Жаботинский, 1938 – 2008) – російський та американський (з 1991 р. до смерті працював у США) фізикохімік та біофізик, лауреат Ленінської премії (1980). Дослідив механізм реакції Бєлоусова – Жаботинського.

3 П. Дюгем (Pierre Maurice Marie Duhem, 1861 –1916) – французький фізик (працював у галузі термодинаміки), математик, займався також філософією та історією науки.

4 О.О. Андронов (Александр Александрович Андронов, 1901- 1952) – видатний російський фізик, академік АН СРСР, фахівець у галузі електротехніки, радіофізики, теорії коливань, динаміки машин.

5 Е. Хопф (Eberhard Frederich Ferdinand Hopf, 1902 - 1983) – австрійський, німецький і американський математик, один із засновників теорії біфуркацій.

6 Див.: А.И.Лаврова, Е.Б.Постников, Ю.М.Романовский. Брюсселятор  абстрактная химическая реакция? // УФН, 2009, т.179, №12, с.1327-1332.

7 Див., наприклад: І.О.Анісімов. Коливання та хвилі. К., Академпрес, 2003.

8 Г. Фехнер (Gustav Theodor Fechner, 1801 – 1887) – німецький учений, відомий в першу чергу роботами з експериментальної психології. Займався також дослідженнями в галузі фізики (дослідження гальванічного елемента) та математики.

9 А. Вінфрі (Arthur Taylor Winfree, 1942 - 2002) – американський біолог, займався математичним моделюванням біологічних процесів, зокрема, періодичних процесів у найпростіших організмах (біологічні годинники), тривимірними режимами поширення електрохімічних хвиль.

10 Р. Філд (Richard J. Field) – американський хімік, професор університету Монтана (США).

11 Е. Керес (E.Koros) – американський хімік та фармаколог.

12 Р.Нойес (Richard Macy Noyes, 1919 – 1997) – американський фізико-хімік.

13 Назва походить від штату Орегона (США), де працювали дослідники. Запропонована за аналогією з брюсселятором.

14 Е. Раус (Edward John Routh, 1831 - 1907) – англійський математик, член Королівського товариства. Займався, зокрема, систематизацією математичного апарату механіки, виконав ряд робіт, що лягли в основу сучасної теорії систем управління.

15 А. Гурвіц (Adolf Hurwitz, 1859 - 1919) – один з найвидатніших німецьких математиків другої половини ХІХ століття. Отримав, зокрема, ряд фундаментальних результатів у теорії алгебраїчних кривих та в теорії чисел.

16 Ф. Шльогль (Friedrich Schlögl, нар. 1917)  німецький фізик, професор університету в Аахені. Найвідоміші роботи присвячені статистичній фізиці та хімічній кінетиці відкритих систем.

48