Циліндричні поверхні

Нехай задано просторову криву γ: і вектор = (m,n,p) (0).

Циліндрична поверхня (циліндр) це поверхня, утворена всіма прямими, що паралельні до даного вектора і перетинають дану просторову криву γ. Прямі називають твірними циліндра, криву γ називають напрямною циліндра. Назва кривої γ визначає назву циліндра. Так є коловий циліндр, еліптичний циліндр, параболічний циліндр і т.п.



γ М₀

Виведемо рівняння циліндра. Візьмемо будь-яку точку М₀(х₀,y₀,z₀) на кривій γ. Тоді F₁(х₀,y₀,z₀)=0, F₂(х₀,y₀,z₀)=0. Складемо рівняння твірної циліндра, що проходить через точку М₀: , t  ℝ.

З останніх трьох рівнянь виразимо х₀,y₀,z₀ через t і підставимо в обидва попередні рівняння: , F₁(x-mt ,y-nt ,z-pt)=0, F₂(x-mt ,y-nt ,z-pt)=0. З одного з двох останніх рівнянь можна виразити t через x,y,z і підставити його в друге. Отримаємо одне рівняння: G(x,y,z)=0. Це і буде шукане рівняння циліндричної поверхні.

Теорема (про неповне рівняння). Якщо у рівнянні поверхні немає змінної z, то це рівняння циліндричної поверхні паралельної до осі Oz і напрямна цієї поверхні в площині Oxу має таке ж рівняння як поверхня: γ: .

Д оведення. F(x,y)=0 — поверхня. В площині Oxу – це рівняння якоїсь кривої. Нехай точка М₀(х,у,0) лежить на цій кривій. Оскільки змінна z не входить в рівняння, то також точки з координатами М(х,у,z), при будь-якому z, задовольняють рівняння поверхні. Отже, це – циліндр, з твірними паралельними до осі Оz.

Аналогічні твердження справедливі для рівнянь без змінної у чи без х.

Циліндри другого порядку

-- еліптичний циліндр.

-- гіперболічний циліндр.

-- параболічний циліндр (зображено на малюнку).

Конічні поверхні

Конічна поверхня (конус) це поверхня, утворена прямими, що сполучають дану точку S із точками даної просторової кривої γ. Точка S називається вершиною конуса, крива γ називається напрямною конуса, і назва кривої γ визначає назву конуса. Так є коловий конус, еліптичний конус, параболічний конус і т.п.

Складемо рівняння конуса. Нехай γ: -- напрямна конуса і S(a,b,c)– вершина конуса. Візьмемо будь-яку точку М₀(х₀,y₀,z₀) на кривій γ.

Тоді F₁(х₀,y₀,z₀)=0, F₂(х₀,y₀,z₀)=0. Cкладемо рівняння прямої SM₀:

Із чотирьох рівнянь треба виключити змінні х₀,y₀,z₀. Отримаємо одне потрібне рівняння: G(x,y,z)=0.

Приклад. Еліптичний конус. Нехай напрямна конуса – еліпс в площині z=с, з рівняннями γ: , вершина конуса – початок координат О(0,0,0). Скласти рівняння конуса.

М₀(х₀,y₀,z₀) γ і рівняння прямої ОМ₀: .

З останніх рівнянь виразимо х₀,y₀: (Враховано, що з першого рівняння z₀=c.). Підставимо їх в друге рівняння: . Помножимо його на , отримаємо: -- рівняння еліптичного конуса.

Отже, еліптичний конус – це поверхня другого порядку.

Поверхні обертання

Поверхня обертання це поверхня, утворена обертанням даної просторової кривої γ навколо даної прямої l. Пряма називається віссю поверхні обертання.

Нехай: вісь обертання — це вісь Оz, а крива γ лежить в площині Оyz (x=0).

γ: .

Візьмемо будь-яку точку М₀(х₀,y₀,z₀) на кривій γ. . Cкладемо рівняння кола, яке вона описує при обертанні навколо осі Оz. Коло лежить в площині z =z₀ з центром в точці Р₀(0,0,z₀) і радіусом М₀Р₀, і М₀Р₀² =х₀² + y₀². Рівняння кола запишемо як перетин колового циліндра і площини



F( z)=0

F₁(

Отже, рівняння поверхні обертання з віссю Оz можна записати у такому вигляді:

G( тобто, змінні х, у входять в це рівняння не окремо, а групою . І навпаки, якщо рівняння має такий вигляд, то це рівняння поверхні обертання з віссю Оz (Подумати чому.).

Приклад. Впізнати і зобразити поверхню: 2(х²+у²)+3z=0. Це поверхня обертання з віссю Оz, бо змінні х,у входять групою х²+у². Перетнемо її площиною, що проходить через вісь Оz, наприклад площиною Оуz. Її рівняння х=0.

О тримаємо рівняння кривої: – це парабола вітками вверх в площині Оуz. Намалюємо цю параболу. При обертанні навколо Оz отримаємо поверхню обертання (трошки пізніше ми дізнаємось її назву – коловий параболоїд).

• 

• Інші поверхні другого порядку.

• Метод плоских перерізів дослідження поверхонь. Нехай є рівняння поверхні. Перетинаємо її площинами отримуємо деякі криві, які зображаємо в декартовій системі координат Охуz. Ці криві допоможуть уявити поверхню і намалювати її. Частіше використовують координатні площини та паралельні їм.

Еліпсоїд:

Д ослідимо поверхню методом плоских перерізів.

Перетнемо спочатку площиною Оху: z=0.

-- еліпс з півосями а і b в площині Оху. Малюємо його.

Аналогічно, перетинаючи поверхню площинами Оуz та Охz, отримаємо еліпси з півосями відповідно b,c та a,c. Зображуємо їх.

Перетнемо площиною, паралельною до площини Оху: z=с. Отримаємо: -- одна точка, координатами (0,0,с).

Перетнемо ще площиною, паралельною до площини Оху: z=с/2. Отримаємо: -- еліпс з півосями (вужчий еліпс) в площині z=с/2. Отримали поверхню, подібну на яйце.

Частковий випадок: a=b=c=r.

– рівняння сфери з центром в початку координат з радіусом r.

Гіперболоїди: а) однопорожнинний

-- рівняння однопорожнинного гіперболоїда (у рівнянні один мінус).

Перетнемо площиною Оуz. Лінія перетину визначається системою рівнянь: _-- маємо гіперболу з півосями b і с, причому дійсна вісь гіперболи співпадає з віссю Oу.

П еретнемо площиною Оху. Отримаємо _{-- рівняння еліпса з півосями а і b в площині Оху.}

Розглянемо переріз поверхні площинами z=±h, паралельними до площини Oху. В перерізі одержуємо лінію, визначену системою рівнянь -- еліпс з півосями (ширший еліпс) в площинах z=±h. Отримали поверхню, зображену на малюнку.

б) Двопорожнинний гіперболоїд:

-- рівняння двопорожнинного гіперболоїда (у рівнянні два мінуси).

П еретнемо площиною Оуz. Лінія перетину визначається системою рівнянь: _-- маємо гіперболу з півосями b і с, причому дійсна вісь гіперболи співпадає з віссю Oz.

При z=0 отримаємо . Отже, перетин з площиною Оху є .

При z=±с отримаємо _{-- точки М1(0,0,с) і М2(0,0,-с).}

Розглянемо переріз поверхні площинами z=±2с, паралельними до площини Oху. В перерізі одержуємо лінію, визначену системою рівнянь -- еліпс з півосями

При більших |z| отримаємо ширші еліпси. Поверхня зображена на малюнку.

Параболоїди: а) еліптичний параболоїд

—рівняння еліптичного параболоїда;

Вправа. Переконатись методом плоских перерізів, що він має саме такий вигляд як на малюнку.

б)гіперболічний параболоїд

— рівняння гіперболічного параболоїда.

В площині Oyz: х=0 то – парабола вітками вниз.

В перерізі площинами x=±1 одержуємо: x=±1, – подібні параболи вітками вниз з вершинами, піднятими на висоту .

В площині Oхz: у=0 то – парабола вітками вверх. На цій параболі якраз розміщені вершини попередніх парабол. (Уявляємо поверхню, утворену рухом параболи (паралельної до площини Оyz) вітками вниз так, що її вершина на параболі вітками вверх в площині Охz.)

В площині z= -1 отирмуємо: z= -1, — гіпербола, з дійсною віссю Оу. Отже, точки рухомої параболи на висоті z= -1 з’єднуються цією гіперболою.

Отримали поверхню подібну на сідло.

Загальне рівняння поверхні другого порядку, його зведення до канонічного

ах² + by² + cz² + dxy + exz + fyz + gx + hy + kz + l = 0, а²+b²+c²+d²+e²+f ² 0

Теорема. З допомогою повороту системи координат можна добитися щоб пропали доданки з добутками xy, xz, yz (без доведення).

Отримаємо в новій системі координат рівняння

Ах² + Вy² + Сz² + Gx + Hy + Kz + L = 0 (А²+В²+С² 0). Далі виділяємо повні квадрати окремо з x, y, z, і приходимо до знайомих рівнянь поверхонь другого порядку із зміщеним центром. Можливі такі випадки:

1. Якщо А,В,С мають однакові знаки – то еліпсоїд або Ø, або одна точка (А=В=С — сфера, Ø, або точка).

2. А,В,С – різні знаки — гіперболоїд однопорожнинний або двопорожнинний, або еліптичний конус.

3. Якщо хоча б одне з чисел А,В,С дорівнює нулю — параболоїди або циліндри.

Вправа*. Довести, що якщо В=С=0 (тобто тільки один квадрат змінної зустрічається в рівнянні поверхні) то поверхня є циліндром.

Отже, всі типи поверхонь другого порядку ми розглянули.

Приклад. Звести рівняння поверхні до канонічного, та намалювати поверхню.

3х² - 4y² + 5z² - 6x + 16y - 30z + Р = 0.

Це поверхня другого порядку. В рівнянні немає добутків ху, уz, xz, то треба виділяти повні квадрати окремо з кожною змінною:

3(х² -2х)-4(у²- 4y)+5(z² - 6z)+P=0

3((х-1)² -1)-4((у-2)² - 4)+5((z-3)² - 9)+P=0

3(х-1)² -3-4(у-2)² +16+5(z-3)² - 45+P=0

3(х-1)²-4(у-2)²+5(z-3)²=32-P

Випадок 1: 32-Р > 0 – однопорожнинний гіперболоїд.

В ипадок 2: 32-Р < 0 – двопорожнинний гіперболоїд.

Випадок 3: 32-Р = 0 – еліптичний конус.

Нехай 32-Р=15. Тоді поділимо рівняння на 15:

(х-1)²/5-(у-2)²/3,75+(z-3)²/3=1 – однопорожнинний гіперболоїд з півосями . Центр в точці С(1; 2; 3). Один мінус перед дужкою з у, тому вісь паралельна осі Оу.

Найвужчий еліпс буде в площині у=2, його півосі а,b. Поверхня зображена на малюнку.

Полярна система координат на площині

В иберемо на площині деяку фіксовану точку О - початок координатної системи або полюс. Фіксований промінь (напівпряма) з вибраним на ньому одиничним відрізком з початком в полюсі назвемо полярною віссю.

Положення будь-якої точки М на площині будемо визначати впорядкованою парою чисел: довжиною  радіуса - вектора та кутом  між полярною віссю і вектором . Кут вважається додатнім, якщо напрям обертання від полярної осі до радіус-вектора береться проти годинникової стрілки.

Числа  і  називаються полярними координатами точки М, М(,). Координати  і  повністю визначають положення точки М. Задання точки М однозначно визначає лише число  - довжину радіуса-вектора. Полярний кут визначається тільки з точністю до доданка, кратного 2. Для полюса полярний кут взагалі не визначений. Довжина радіус-вектора  для різних точок площини може змінюватися від 0 до +, полярний кут  від - до +.

Як і в декартовій системі координат, кожній лінії на площині відповідає рівняння, яке зв`язує  і , і, навпаки, кожному рівнянню, яке зв`язує  і , відповідає, як правило, деяка лінія на площині із заданою полярною системою координат. Отже, F(,)=0 – рівняння лінії в полярній системі координат. Можна виразити змінну . Отримаємо рівняння =().

Для побудови лінії, заданої рівнянням =() в полярній системі координат, частіше використовують метод побудови по точках, але спочатку доцільно знайти область зміни кута , зважаючи на те, що відстань до початку координат 0.

Розглянемо деякі лінії в полярній системі координат.

1. =с, де с=сonst – коло з центром в полюсі з радіусом с (с0).

2. =с, де с=сonst – промінь, що виходить з початку координат під кутом с до полярної осі.

3. Побудувати лінію

Область допустимих значень (ОДЗ): 0, то 0.

Одержана лінія називається спіраллю Архімеда.

4. Побудувати лінію =а(1+cos). (а= сonst, а 0).

ОДЗ: 0

1+cos0  cos-1  ℝ. Але достатньо побудувати для [0,2π], далі і напрямок буде повторюватись і  також, бо cos має період 2π.

Складаємо таблицю:

О скільки сos=cos(2-), то обчислення значення  при  не потрібно. Крива повинна бути симетричною відносно полярної осі. Наносячи відповідні точки на рисунок і сполучаючи їх плавною лінією, одержимо лінію. Ця лінія називається кардіоїдою.

П ерехід від полярної системи координат до декартової і навпаки

Помістимо початок декартової системи координат в полюсі полярної системи і направимо вісь абсцис вздовж полярної осі. Одиничні відрізки на осях Ох, Оу виберемо рівними одиничному відрізку на полярній осі.

Нехай точка М має координати (,) та (х,у) в полярній та декартовій системах відповідно. Тоді із співвідношень в прямокутному трикутнику: x=cos, y=sin.

Також знаходимо: tg = .

 = arctg + πk, kℤ, k – парне, або непарне – вибирають так, щоб кут  був у потрібному квадранті.

Приклад. Зобразити криву =acos (a>0). Потім перейти в рівнянні до декартової системи координат і впізнати криву.

ОДЗ: 0

cos0  cos0  [-/2+2k, /2+2k], kℤ. Але достатньо побудувати для [-/2, /2], далі і напрямок буде повторюватись і  також, бо cos має період 2.

С

O a

кладаємо таблицю:

Оскільки сos(-)=cos, то обчислення значення  при -/20 не потрібно. Крива повинна бути симетричною відносно полярної осі. Наносячи відповідні точки на рисунок і сполучаючи їх плавною лінією, одержимо лінію.

Перейдемо до декартової системи координат: -- рівняння кола. Знайдемо центр і радіус:

. Отже, це коло з центром в точці (a/2,0), з радіусом a/2. Малюнок це підтверджує.