Лінійна алгебра

Лінійна алгебра вивчає лінійні алгебраїчні рівняння (наприклад, 2х-3=10) і системи таких рівнянь, а також матриці (масиви).

План

1. Неповне означення визначника n-порядку.

2. Означення визначників 2 і 3 порядків.

3. Уточнення означення. Перестановки та їх властивості.

4. Властивості визначників.

5. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь: основні означення.

6. Теорема Крамера. Теорема про несумісну систему.

Домашнє завдання: Б-Н: 202-210, 212-214, 218-222.

Визначник – допоміжне поняття. Нехай n є ℕ, ℕ={1,2,3,…}

Означення 1. (неповне) Визначник n-го порядку записується у вигляді квадратної таблиці чисел або виразів (n×n), обчислюється за таким правилом: додаються всі добутки, в яких є по одному елементу з кожного рядка і з кожного стовпчика, і при n половина добутків береться із знаком «+», половина – із знаком «-».

= Таблиця в прямих дужках. Перший індекс – номер рядка. Другий індекс – номер стовпця.

Визначники 1, 2 і 3 порядку.

Приклад.

= =a₁₁ a₂₂ – a₁₂ a₂₁

Приклад. ,

= a₁₁ а₂₂ а₃₃+а₂₁ а₃₂ а₁₃ + а₁₂ а₂₃ а₃₁ – а₁₃ а₂₂ а₃₁ – а₂₃ а₃₂ а₁₁ – а₁₂ а₂₁ а_33. (1)

Називається правило трикутника.

Приклад. 4+8+27-24-12-3=39-39=0.

Правило Сар’юса: дописують до визначника справа його перший і другий стовпчики:

- - - + + + Переконуємось, що вийде такий ж вираз як і за правилом

трикутника.

Уточнення означення.

Означення. Перестановка з n чисел – це числа від 1 до n розміщені в деякому порядку. Перестановки відрізняються порядком елементів.

Приклад. 3,1,2,4 та 4,1,3,2 – дві перестановки з чотирьох чисел.

Означення. Кількість інверсій перестановки — це кількість пар елементів, в яких більший елемент розміщений в перестановці перед меншим. Якщо кількість інверсій перестановки парна то перестановка називається парною, якщо непарна — непарною.

Зауваження. В перестановці з будь-яких n натуральних чисел аналогічно вводиться кількість інверсій та парність.

Перестановка 1,2,3,…, n називається натуральною. Очевидно, що вона парна.

Розглянемо формулу обчислення визначника третього порядку (1). Якщо в кожному добутку розмістити перші індекси в порядку зростання (тобто записувати множники в добутку по порядку рядків), то другі індекси утворять перестановку з трьох чисел. Визначимо кількості інверсій та парність перестановки для кожного добутку:

1. a₁₁ а₂₂ а₃₃ -- 1,2,3 0 інверсій – парна

2. а₂₁ а₃₂ а₁₃ = а₁₃ а₂₁ а₃₂ -- 3,1,2 2 інверсії (пари 3,1 та 3,2) - парна

3. а₁₂ а₂₃ а₃₁ -- 2,3,1 2 інверсії (пари 2,1 та 3,1) - парна

4. а₁₃ а₂₂ а₃₁ -- 3,2,1 3 інверсії (пари 3,2; 3,1 та 2,1) - непарна

5. а₂₃ а₃₂ а₁₁ = а₁₁ а₂₃ а₃₂ -- 1,3,2 1 інверсія (пара 3,2) - непарна

6. а₁₂ а₂₁ а₃₃ -- 2,1,3 1 інверсія (пара 2,1) – непарна

Отже, ті добутки, яким відповідає парна перестановка, беруть із знаком «+», а яким непарна – із знаком «-».

Закінчення означення визначника n – го порядку. Для кожного добутку в розкладі визначника визначають відповідну перестановку. Ті добутки, яким відповідають парні перестановки, беруть із знаком «+», а яким непарні – беруть із знаком «-».

Зауваження. Добутку на головній діагоналі відповідає натуральна перестановка, тому добуток з головної діагоналі завжди буде із знаком «+».

Властивості перестановок (Воеводин. Линейная алгебра, стор.122)

1. При перестановці двох елементів перестановка змінює парність. Назвемо таку операцію транспозицією.

Доведення. При перестановці двох сусідніх елементів очевидно, що змінюється кількість інверсій на одиницю, тобто зміниться парність. Нехай поміняли місцями елементи i та j (i був попереду j), між якими було k елементів. Цю зміну можна зробити переставляючи i з сусідніми поки він не стане після j. Буде k+1 змін парності. Потім j переміщувати вперед, переставляючи з попередніми, поки він не стане на місце i. Буде k змін парності. Разом 2k+1 зміни парності, тому перестановка змінить парність.

2. Всі перестановки з n елементів можна розмістити в такому порядку, що кожна наступна перестановка відрізнятиметься від попередньої тільки однією транспозицією. Починати можна з будь-якої перестановки.

Доведення. Метод математичної індукції. При n=2 можна: 1,2; 2,1 або 2,1; 1,2. Припустимо, що при всіх n від 2 до деякого k>2 це можна зробити і доведемо для n=k+1. При такому n почнемо з будь-якої перестановки, в якої буде на першому місці деякий елемент. Всі елементи крім першого утворюватимуть перестановку з k елементів. Будемо робити транспозиції, не змінюючи першого елемента, поки не вичерпаємо всі такі перестановки, це можливо за припущенням індукції. Тоді поміняємо місцями перший елемент з деяким іншим, і повторимо операцію. Продовжуватимемо до тих пір, поки на першому місці не побувають всі числа.

Отже, при n2 кількості парних і непарних перестановок однакові, тому кількості добутків із знаком «+» та «-» у визначнику при таких n однакова.

Із першої та другої властивостей випливає третя.

3. Нехай є дві перестановки з n елементів, перша з яких натуральна. Якщо зводити другу перестановку до натуральної шляхом транспозицій, і при кожній транспозиції робити будь-яку транспозицію в першій перестановці, то при закінченні процесу парність першої перестановки буде така якою була парність другої на початку процесу.

Далі ми навчимось з допомогою властивостей визначників зводити визначники вищих порядків до визначників 3-го і 2-го порядків.