Системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Системою лінійних алгебраїчних рівнянь називається система вигляду:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁ x_i - невідомі

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂ a_{ij –} коефіцієнти – відомі числа

… b_i – вільні члени – відомі числа

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m

Невідомі можна позначати x, y, z, ... Алгебраїчна, бо зустрічаються тільки дії додавання і множення, Лінійна, бо невідомі входять не більш як в першому степені.

Розмір системи (m x n), де m – кількість рівнянь, n – кількість невідомих.

Пр. 2x+y=-1 Система лінійних алгебраїчних рівнянь (2х2).

x – 2y=7

Система називається однорідною, якщо всі вільні члени дорівнюють нулю.

Якщо хоча б один вільний член не нуль, то система неоднорідна.

Розв’язок системи – це сукупність значень невідомих, при підстановці яких в систему отримаємо всі правильні рівності.

Несумісна система - це система, яка не має розв’язків. (Відповідь. Ø )

Однорідна система не може бути несумісною, бо завжди має нульовий розв’язок (0; 0;...;0).

Еквівалентні системи – це системи, в яких однакові розв’язки.

Теорема. Система лінійних алгебраїчних рівнянь може мати один розв’язок, жодного розв’язку або безліч розв’язків.

Доведення. Якщо є два різні розв’язки ( ) і ( ), то можна побудувати ще один новий розв’язок – їх середнє арифметичне

( ), і аналогічно потім ще і ще.

Вам відомі такі методи розв’язування систем: виключення змінних шляхом підстановки або додавання рівнянь та для систем (2х2) графічний метод. Розглянемо метод розв’язування систем з допомогою визначників – метод Крамера.

Якщо в системі кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих, то система називається квадратною.

Теорема Крамера. Якщо головний визначник квадратної системи не дорівнює нулю, тоді система має єдиний розв’язок, який можна знайти за формулами Крамера:

х₁= ; х₂= ; …;х_n= , де

- це допоміжні визначники, отримані з головного визначника заміною відповідного стовпчика на вільні члени:

, і т.д.

Доведення. Домножимо рівняння системи на відповідні алгебраїчні доповнення до елементів першого стовпця і додамо.

A₁₁ · a₁₁x₁+a₁₂x₂=b₁

A₂₁ · a₂₁x₁+a₂₂x₂=b₂

x₁(a₁₁A₁₁+a₂₁A₂₁)=x₁Δ; x₂(a₁₂A₁₁+a₂₂A₂₁)=0;

x₁(a₁₁A₁₁+a₂₁A₂₁)+ x₂(a₁₂A₁₁+a₂₂A₂₁)=b₁A₁₁+b₂A₂₁; b₁A₁₁+b₂A₂₁=Δ₁, за властивістю Лапласа для першого стовпця

x₁Δ=Δ₁; Δ 0; х₁= ; аналогічно для х₂,…,х_n

Отже, розв’язок може бути тільки один. Ще треба перевірити чи ця пара чисел справді є розв’язком. Підставимо її в перше рівняння початкової системи: a₁₁Δ₁/Δ+ a₁₂Δ₂/Δ=b₁ | · Δ a₁₁Δ₁+ a₁₂Δ₂=b₁ Δ

a₁₁(b₁A₁₁+b₂A₂₁)+ a₁₂(b₁A₁₂+b₂A₂₂)=b₁ (a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂)

Підкреслені вирази в лівій і правій частині співпадають після розкривання дужок, а те що залишається в лівій частині: b₂ (a₁₁A₂₁+a₁₂A₂₂)=0 за останньою властивістю визначників.

Пр. 2x+y=-1 Квадратна система лінійних алгебраїчних рівнянь (2х2).

x – 2y=7

-- можна використати метод Крамера.

,

х= =-5/(-5)=1; y= =15/(-5)=-3; Перевірка: 2·1+(-3)=-1, 1-2·(-3)=7 вірно.

Відповідь. {(1;-3)}.

Теорема про несумісну систему. Якщо в квадратній системі головний визначник дорівнює нулю, а хоча б один з допоміжних визначників Δ_і не дорівнює нулю, то система несумісна.

Доведення. Аналогічно як в доведенні теореми Крамера, отримаємо рівняння

x_іΔ=Δі, яке очевидно не має розв’язків.

Пр. 3х-4y+5z=-2 Квадратна система лінійних алгебраїчних рівнянь (3х3).

2x+3y-z=1 Можна дослідити з допомогою визначників.

x-7y+6z=1

-2 -3

= (однакові рядки).

Не можна використати метод Крамера.

2 -1

= =

=1(-1) -- система не має розв’язків.

Відповідь. Ø.