6. Властивість Лапласа: розклад визначника за елементами рядка чи стовпчика.

=a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+a₁₃A₁₃

Визначник дорівнює сумі добутків елементів одного рядка (стовпчика) на відповідні алгебраїчні доповнення.

Вправа. Довести властивість для першого рядка визначників 2-го і 3-го порядків, розписавши алгебраїчні доповнення за означенням.

Пр. .

; ; .

Дана властивість дозволяє заміняти визначник на суму визначників нижчих порядків. Використавши її потрібну кількість разів, зведемо визначник будь-якого порядку до визначників 3-го чи 2-го порядків, які ми вміємо обчислювати точно.

Для того щоб обчислювати менше алгебраїчних доповнень спочатку за властивістю 8 добре було б зробити в одному рядку (ст.) всі елементи крім одного нулями.

-2

2

Пр. = .

Зауваження. Сума добутків b₁A_i1+b₂A_i2+b₃A_i3 , де b₁, b₂, b₃ -- деякі числа, дорівнює зміненому початковому визначнику, в якому на місці і-того рядка стоять числа b₁, b₂, b₃.

6. Сума добутків елементів одного рядка на алгебраїчні доповнення до відповідних елементів іншого рядка дорівнює нулю.

. Наприклад , a₃₁A₁₁+a₃₂A₁₂+a₃₃A₁₃=0.

Доведення. Дана сума добутків є за властивістю Лапласа розкладом за першим рядком такого визначника, в якого на місці першого рядка стоять елементи третього рядка:

= 0, бо є однакові рядки.

Лінійна залежність і лінійна незалежність

Додавання рядків однієї довжини це додавання відповідних елементів. Множення рядка на число це множення всіх елементів рядка на це число.

Означення 1. Рядки (однієї довжини) називаються лінійно залежними, якщо один з них можна виразити через інші з допомогою додавання і множення на число. Аналогічно лінійно залежними можуть бути стовпчики, вектори, функції, рівняння.

Рядки називаються лінійно незалежними, якщо жоден з них не виражається через інші.

Зауваження. Якщо серед рядків є нульовий рядок, то очевидно, що він виражається через інші (взяти нульові коефіцієнти), тобто така сукупність є лінійно залежною. Тому один нульовий рядок теж називають лінійно залежним.

Означення 2. Рядки p₁, p₂,…, p_n називаються лінійно залежними, якщо існують числа 𝜆₁, 𝜆₂,…, 𝜆_n, не всі рівні нулю, що виконується рівність:

𝜆₁p₁ +𝜆₂p₂+…+𝜆_np_n = 0. (0 – нульовий рядок)

Ліва частина цієї рівності називається лінійною комбінацією рядків з коефіцієнтами 𝜆₁, 𝜆₂,…, 𝜆_n.

Якщо лінійна комбінація рядків дорівнює нульовому рядку тільки при всіх нульових коефіцієнтах, то рядки називаються лінійно незалежними.

Теорема. Означення 1 і означення 2 еквівалентні.

Доведення. Нехай p₁, p₂,…, p_n лінійно залежні рядки за означенням 1, тобто

наприклад, p_n лінійно виражається через інші p_n = с₁p₁+с₂ p₂+…+с_n-1p_n-1 .

Перенесемо всі доданки в праву частину: с₁p₁+с₂ p₂+…+с_n-1p_n-1 - p_n =0.

Коефіцієнт біля p_n дорівнює -1 (0). Тому також є лінійна залежність за означ.2.

Навпаки, якщо p₁, p₂,…, p_n лінійно залежні за означенням 2:

𝜆₁p₁ +𝜆₂p₂+…+𝜆_np_n = 0, і наприклад 𝜆_n0. То можна виразити рядок р_n через інші:

р_n = (-𝜆₁ / 𝜆_n)p₁ +(-𝜆₂ / 𝜆_n)p₂+…+(-𝜆_n-1 / 𝜆_n)p_n-1, тобто рядки лінійно залежні за означ.1.

Вправи

1. Якщо серед рядків є нульовий, то вони лінійно залежні.

2. Якщо серед рядків є однакові рядки, або пропорційні, то вони також лінійно залежні.

3. Якщо до лінійно залежних рядків добавити деяку кількість рядків, то нова сукупність рядків залишиться лінійно залежною.

Властивість визначників 11. Визначник дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли його рядки (стовпці) лінійно залежні.

Доведення. Достатність. Нехай рядки p₁, p₂,…, p_n визначника лін. залежні, тобто

𝜆₁p₁ +𝜆₂p₂+…+𝜆_np_n = 0, і наприклад 𝜆_n0. Поділимо рівність на 𝜆_n:

(𝜆₁ / 𝜆_n)p₁ +(𝜆₂ / 𝜆_n)p₂+…+(𝜆_n-1 / 𝜆_n)p_n-1, +р_n = 0. Отже, якщо ми до рядка р_n додамо попередні, помножені на числа (𝜆_і / 𝜆_n), то визначник не зміниться, але на місці рядка р_n отримаємо нульовий рядок, тобто визначник дорівнює нулю.

Необхідність. Нехай визначник  =0. Якщо в нього є нульовий рядок, то рядки вже лінійно залежні. Припустимо, що немає нульового рядка. Отже, в першому рядку є ненульовий елемент а_1і. З допомогою додавання помноженого його на числа до інших рядків в і-тому стовпці під а_1і можна зробити всі нулі. При цьому будь-який (не перший) рядок стане лінійною комбінацією його самого з коефіцієнтом 1 і першого рядка. Якщо після цієї операції появиться нульовий рядок, то це означає, що початкові рядки теж були лінійно залежними. Знайдемо в другому рядку ненульовий елемент а_2j в деякому j-тому стовпці (ji) і, додаючи помножений другий рядок до інших рядків, зробимо всі нулі в даному j-тому стовпці, крім а_2j. (При цьому і-тий стовпець не зміниться.) Якщо ще не буде нульового рядка, то повторюючи цю операцію n разів, ми прийдемо до визначника, в якому в кожному рядку і стовпці буде по одному ненульовому елементу, тобто цей визначник дорівнює добутку цих ненульових елементів із деяким знаком. Тому  0. Протиріччя. Отже, на деякому кроці ми все ж таки отримаємо нульовий рядок, що й означатиме, що рядки лінійно залежні.