Алгоритм метода потенциалов

Алгоритм метода потенциалов состоит в следующем:

Этап 1. Строится исходный опорный план перевозок, например методом северо-западного угла или минимального элемента.

Этап 2. Каждому поставщику A_i ставится в соответствие некоторое число u_i ( ), а каждому потребителю B_j ( ) – некоторое число v_j, называемые потенциалами соответственно поставщика A_i и потребителя B_j. Эти числа выбираются так, чтобы в любой занятой клетке их сумма равнялась транспортной издержке этой клетки, т.е. u_i + v_j = c_ij. Так как всех потенциалов m+n, а занятых клеток (базисных перевозок) m+n-1, то для определения чисел u_i, v_j необходимо решать систему из m+n-1 уравнений u_i+v_j=с_ij с m+n неизвестными. В этом случае одной из неизвестных придают произвольное значение; обычно наиболее часто встречающийся в системе потенциал полагается равным нулю. Остальные m+n-1 потенциалов определяются однозначно.

Этап 3. Проверяется исходный опорный план на оптимальность. Для этого просматриваются свободные клетки (i,j) и для каждой из них вычисляются суммы потенциалов u_i+v_j. Затем составляются разности

_ij = c_ij - (u_i + v_j).

План будет оптимален, если для каждой свободной клетки (i,j) разность _ij есть величина неотрицательная, т.е.

_ij = c_ij - (u_i + v_j)  0.

Этап 4. Если критерий оптимальности не выполнен (имеются клетки с _ij <0), то переходят к новому опорному плану с меньшим значением целевой функции. В число занятых вводят клетку, для которой оценка наименьшая, и получают новый план перевозок. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получен план, для которого все оценки _ij 0.

Пусть наименьшая отрицательная оценка _ij достигается в клетке (l,k). Тогда эта клетка вводится в набор клеток с положительными x_ij, соответствующий новому опорному плану. Для нахождения числового значения x_lk=t в таблице базисного решения строится так называемый цикл пересчета. Назовем клетку таблицы (l,k) начальной (исходной) клеткой цикла.

Перечислим основные правила построения цикла:

1 Все клетки цикла, кроме исходной, должны быть базисными.

2 Каждые две соседние клетки соединяются отрезком прямой.

3 Связывающие отрезки должны пересекаться только под прямыми углами.

4 Графически цикл должен быть замкнутой ломаной, звенья которой пересекаются под прямыми углами.

5 В любой строке или столбце, где имеются клетки цикла, должно быть ровно две вершины цикла.

6 Исходная клетка цикла помечается знаком "+", а остальные - знаками "+" и "-" так, чтобы любые две соседние клетки были помечены противоположными знаками. Клетки цикла, помеченные знаком "+", образуют положительную полуцепь, а знаком "-" - отрицательную. Сам цикл образует замкнутую цепь.

Среди всех клеток отрицательной полуцепи находим клетку, которая содержит наименьшее значение x_ij=t. Обозначим такую клетку (p,q). Значения x_ij, содержащиеся во всех клетках положительной полуцепи, увеличиваем, а значения x_ij во всех клетках отрицательной полуцепи уменьшаем на величину t. Величины x_ij>0 в остальных клетках первоначального набора остаются неизменными.

Получаем новый улучшенный план, из которого клетка (p,q) выведена и введена новая клетка (l,k), содержащая величину x_lk=t.

Вычисляется новая система потенциалов и проверяется полученный новый план на оптимальность. Процесс продолжается до получения всех оценок _ij0.