Пример решения задачи лп симплекс-методом
Найти максимум линейной функции
Z=2x1-10x2+4x3-6x4
при условиях:
Приведем задачу к каноническому виду - найдем минимум линейной формы:
Z/=-Z=-2x1+10x2-4x3+6x4
при ограничениях:
Здесь x5, x6, x7 - дополнительные переменные. В первое уравнение дополнительная переменная x5 введена с коэффициентом +1. Во второе и третье уравнения введены переменные x6 и x7 с коэффициентом -1. После введения переменных x6 и x7 второе и третье уравнения умножены на -1. Выпишем матрицу системы ограничений задачи:
.
Единичные векторы A5, A6, A7 образуют базис трехмерного пространства (m=3). Решать эту задачу алгоритмом симплекс-метода можно, поскольку переменные x5, x6, x7 входят с коэффициентом +1 только соответственно в первое, второе и третье ограничения. Таким образом, x5, x6, x7 - базисные переменные, а остальные - небазисные. Полагая небазисные переменные в ограничениях равными нулю, получим исходное допустимое базисное решение:
X0=(0,0,0,0,16,4,0).
Заполняем исходную симплекс-таблицу (таблица 3).
Таблица 3 - Нулевая таблица
i |
Бх |
Сб |
А0 |
-2 |
10 |
-4 |
6 |
0 |
0 |
0 |
t |
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A5 |
A6 |
A7 |
|||||
1 |
A5 |
0 |
16 |
3 |
-1 |
0 |
2 |
1 |
0 |
0 |
4 |
|
A6 |
0 |
4 |
-1 |
-2 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
|
3 |
A7 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
-3 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
4 |
|
- |
0 |
2 |
-10 |
4 |
-6 |
0 |
0 |
0 |
2
Вычисляем значения целевой функции и разностей j = Zj - cj :
Z0 = Cб A0 = 0 . 16 + 0 . 4 + 0 . 0 = 0;
Z1 – c1 = Cб A1 – c1 = 0 . 3 - 0 . 1 + 0 . 0 + 2 = 2;
Z2 – c2 = Cб A2 – c2 = 0 . (-1) - 0 . (-2) + 0 . (-1) - 10 = -10;
Z3 – c3 = Cб A3 – c3 = 0 . 0 - 0 . 1 + 0 . (-3) – (-4) = 4;
Z4 – c4 = Cб A4 – c4 = 0 . 2 - 0 . 2 + 0 . 1 - 6 = -6;
Z5 – c5 = Cб A5 – c5 = 0 . 1 - 0 . 0 + 0 . 0 - 0 = 0;
Z6 – c6 = Cб A6 – c6 = 0;
Z7 – c7 = Cб A7 – c7 = 0.
Просматриваем разности. Так как среди разностей есть положительные, то X0 не является оптимальным решением. Строим новое базисное решение. Для этого вводим в базис вектор A3, так как
maxj=max(1=2, 3=4)=4.
Выводим из базиса вектор A6, так как
.
Разрешающий элемент таблицы x23=1 удобно выделить кружком, а разрешающие столбец и строку - стрелочками. Заполняем таблицу 4.
Ведущую (вторую) строку делим на разрешающий элемент, равный в данном случае единице, и записываем в новую (первую) таблицу на то же место. Первую строку переписываем без изменения, так как в разрешающем столбце этой строки уже стоит нуль. К третьей строке прибавляем вторую полученную, умноженную на 3. Из четвертой строки вычитаем преобразованную ведущую, умноженную на 4. С новой таблицей, которая содержит неоптимальное решение, поступаем точно так же, как и с предыдущей.
Таблица 4 - Первая симплекс-таблица
i |
Бх |
Сб |
А0 |
-2 |
10 |
-4 |
6 |
0 |
0 |
0 |
t |
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A5 |
A6 |
A7 |
|||||
1 |
A5 |
0 |
16 |
3 |
-1 |
0 |
2 |
1 |
0 |
0 |
16/3 |
2 |
A3 |
-4 |
4 |
-1 |
-2 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
|
3 |
A7 |
0 |
12 |
-3 |
-7 |
0 |
7 |
0 |
0 |
1 |
|
4 |
|
- |
-16 |
6 |
-2 |
0 |
-14 |
0 |
0 |
0 |
Вводим в базис вектор A1, так как maxj=Z1-c1=6. Выводим вектор A5, так как ему отвечает наименьшее симплексное отношение
.
Ведущую (первую) строку делим на ведущий коэффициент, равный x11=3. Ко второй строке прибавляем преобразованную первую, а к третьей - первую полученную, умноженную на 3. Из четвертой вычитаем ту же первую, умноженную на 6. Так как все разности во второй таблице (таблица 5) неположительны: j0, то получено оптимальное решение:
min(-Z)=-48.
Тогда maxZ=-min(-Z)=48.
Таблица 5 - Вторая симплекс-таблица
i |
Бх |
Сб |
А0 |
-2 |
10 |
-4 |
6 |
0 |
0 |
0 |
t |
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A5 |
A6 |
A7 |
|||||
1 |
A1 |
-2 |
16/3 |
1 |
-1/3 |
0 |
2/3 |
1/3 |
0 |
0 |
|
2 |
A3 |
-4 |
28/3 |
0 |
-7/3 |
1 |
8/3 |
1/3 |
1 |
0 |
|
3 |
A7 |
0 |
28 |
0 |
-8 |
0 |
9 |
1 |
3 |
1 |
|
4 |
|
- |
-48 |
0 |
0 |
0 |
-18 |
-2 |
-4 |
0 |