Примеры решения задач линейного программирования графическим методом

Пример 1. Найти максимум и минимум линейной формы

Z=2x₁+x₂

при ограничениях:

Построим область L допустимых решений. Для этого сначала необходимо построить области решений каждого ограничения-неравенства задачи. После этого находим пересечение таких областей, что дает область L.

Заменим в каждом неравенстве задачи знак неравенства на знак равенства. Получим уравнения прямых, ограничивающих соответствующие полуплоскости решений:

Для того, чтобы определить, точки какой из полуплоскостей удовлетворяют данному неравенству, берем любую точку плоскости, например точку O(0,0), и подставляем ее координаты в неравенство. Если окажется, что неравенство удовлетворяется, то все точки плоскости, лежащие по ту сторону от прямой, что и данная, составляют множество решений соответствующего неравенства. Если же неравенство не выполняется, то противоположные точки образуют множество решений данного неравенства. Будем штриховать ту сторону разграничивающей прямой, которая обращена к соответствующему множеству решений. Кроме того, будем также указывать стрелками положение таких множеств решений.

В рассматриваемом примере область L выглядит как на рисунке 2. Область допустимых решений определяется как общая часть полуплоскостей, соответствующих данным неравенствам. Она представляет собой многоугольник ABDEFK.

Для нахождения экстремума строим разрешающую прямую, приравнивая линейную форму нулю: Z=2x₁+x₂=0. Кроме того, строим градиент C=(2;1) целевой функции.

О чевидно, что максимальное значение функция принимает в вершине (крайней точке) Е многоугольника L, а минимальное - в точке А. Координаты этих точек найдем как пересечение соответствующих прямых. Так точка А - точка пересечения прямых:

x₁+x₂=1, x₁=0.

Очевидно, А(0;1)=X_min(0;1), minZ=2.0+1=1.

Аналогично можно получить координаты точки Е, решив совместно второе и третье уравнения:

x₁=3, 3x₁+2x₂=12, E(3;1.5)=X_max(3;1.5),

maxZ=23+1.5=7.5.

Пример 2. Найти максимум и минимум линейной формы

Z=x₁+3x₂

при ограничениях:

Построим область L допустимых решений. Заменим в каждом неравенстве задачи знак неравенства на знак равенства. Получим уравнения прямых:

О бласть допустимых решений L определяется как общая часть полуплоскостей, соответствующих неравенствам. Она представляет собой неограниченную область (рисунок 3).