Пример моделирования и решения транспортной задачи методом потенциалов

Пример 2. Найти оптимальный план перевозок по следующей таблице транспортной задачи (таблица 11).

Таблица 11

Пункт производства	Пункт потребления				аi
	B1	B2	B3	B4
A1	2	4	7	11	200
A2	3	4	3	4	210
A3	3	5	2	4	280
bj	220	90	230	150	690

Составим исходный опорный план по методу северо-западного угла. Поскольку a₁<b₁, принимаем x₁₁=a₁=200, записываем это значение в клетку (1,1) (таблица 12). Все остальные клетки первой строки заполняем нулями. Принимаем x₂₁=20. Вся потребность в пункте B₁ удовлетворена. Формирование первого столбца закончено. Двигаясь далее вправо и вниз, аналогично заполним остальные клетки. В результате получим исходный невырожденный план перевозок (см. таблицу 12), так как число заполненных клеток равно m+n-1=6. При этом Z=1980.

Таблица 12

i	j				аi
	B1	B2	B3	B4
A1	2 200	4	7	11	200
A2	3 20	4 90	-3 100	+ 4	210
A2	3	5	+ 2 130	- 4 150	280
bj	220	90	230	150	690

Проводим проверку исходного плана на оптимальность. Пользуясь таблицей транспортных издержек, составим уравнения u_i+v_j=c_ij для клеток с ненулевыми значениями x_ij. Получим:

u₁ + v₁ = 2; u₂ + v₃ = 3;

u₂ + v₁ = 3; u₃ + v₃ = 2;

u₂ + v₂ = 4; u₃ + v₄ = 4;

Принимая u₁ = 0, находим значения остальных потенциалов:

u₁ = 0, u₂ = 1, u₃ = 0.

v₁ = 2, v₂ = 3, v₃ = 2, v₄ = 4.

Для всех клеток табл. 12 с нулевыми значениями x_ij вычислим оценки

_ij = c_ij – (u_i + v_j)

Будем иметь:

₁₂ = c₁₂ – (u₁ + v₂) = 4 – (0 + 3) = 1 > 0;

₁₃ = c₁₃ – (u₁ + v₃) = 7 – (0 + 2) = 5 > 0;

₁₄ = c₁₄ – (u₁ + v₄) =11 – (0 + 4) = 7 > 0;

₂₄ = c₂₄ – (u₂ + v₄) = 4 – (1 + 4) =-1 < 0;

₃₁ = c₃₁ – (u₃ + v₁) = 3 – (0 + 2) = 1 > 0;

₃₂ = c₃₂ – (u₃ + v₂) = 5 – (0 + 3) = 2 > 0.

Таким образом, для клетки (2,4) условие оптимальности не выполняется. Переходим к улучшению плана. Клетку (2,4) вводим в новый план. Образовавшийся цикл из клеток (2,4),(2,3),(3,3),(3,4) обходим по часовой стрелке; клетки (2,4),(3,3) отмечаем знаком "+", клетки (2,3),(3,4), образующие отрицательную полуцепь, обозначаем знаком "-". Наименьшее значение t=100 содержится в клетке (2,3) отрицательной полуцепи. Прибавляем значение t=100 к величинам, содержащимся в клетках (2,4) и (3,3) положительной полуцепи, и вычитаем из величин, содержащихся в клетках (2,3) и (3,4) отрицательной полуцепи. Величины x_ij остальных клеток набора оставляем без изменений. Улучшенный план приведен в таблице 13. Составляем уравнения для вычисления потенциалов.

Таблица 13

i	j				аi
	B1	B2	B3	B4
A1	2 200	4	7	11	200
A2	3 20	4 90	3	4 100	210
A2	3	5	2 230	4 50	280
bj	220	90	230	150	690

u₁ + v₁ = 2; u₂ + v₃ = 4;

u₂ + v₁ = 3; u₃ + v₃ = 2;

u₂ + v₂ = 4; u₃ + v₄ = 4;

В итоге получим:

u₁ = 0, u₂ = 1, u₃ = 1.

v₁ = 2, v₂ = 3, v₃ = 1, v₄ = 3.

Проверяем условие оптимальности:

₁₂ = c₁₂ – (u₁ + v₂) = 4 – (0 + 3) = 1 > 0;

₁₃ = c₁₃ – (u₁ + v₃) = 7 – (0 + 1) = 6 > 0;

₁₄ = c₁₄ – (u₁ + v₄) =11 – (0 + 3) = 8 > 0;

₂₃ = c₂₃ – (u₂ + v₃) = 3 – (1 + 1) = 1 > 0;

₃₁ = c₃₁ – (u₃ + v₁) = 3 – (1 + 2) = 0;

₃₂ = c₃₂ – (u₃ + v₂) = 5 – (1 + 3) = 1 > 0.

Все _ij0. Таким образом, план x₁₁=200; x₂₁=20; x₂₂=90; x₂₄=100; x₃₃=230; x₃₄=50 является оптимальным.

Минимальное значение целевой функции

Z = 2 ^. 200 + 2 ^. 30 + 4 ^. 90 + 4 ^. 100 + 2 ^. 230 + 4 ^. 50 = 1860.