4.2. Локальная теорема Лапласа

Воспользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами.

Возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Локальная теорема Лапласа и дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно установить вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Определение. Функцию (х) называют асимптотическим приближением функции f(x), если

Примечание. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P_n(k) того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n):

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента х. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, поскольку (х) – четная функция, а значит (-х) = (х), таким образом:

Пример. Найти вероятность того, что событие А наступит 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение. n = 400; k = 80; p = 0,2; q = 0,8.

По таблице определяем: (0) = 0,3989.

4.3. Интегральная теорема Лапласа

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р_n(k₁, k₂)того, что событие А появится в n испытаниях от k₁ до k₂ раз, приближенно равна:

Таблицы для приведены в приложениях. Функция Ф(х) – нечетная, поэтому Ф(- х) = - Ф(х). Таким образом:

§ 4. Виды случайных величин. Задание дискретной случайной величины

5.1. Случайная величина

Определение. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Пример. Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2, …, 99, 100.

Случайные величины: X, Y, Z, …;

возможные значения: x, y, z, …

Пример. Если случайная величина Х имеет три возможных значения, то они: х₁, х₂, х₃.

5.2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Определение. Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Определение. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически, графически.

Пример.

Х	х1	х2	…	хn
р	р1	р2	…	рn

События Х = х₁, Х = х₂, …, Х = х_n – образуют полную группу, тогда

р₁ + р₂ + …+ р_n = 1.

Пример. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 10 000 рублей и десять выигрышей по 500 рублей. Установить закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение.

Х	10 000	500	0
р	0,01	0,1	0,89

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (х_i, p_i), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.