- •Введение в теорию вероятностей
- •§ 1. Элементы комбинаторики
- •Размещения
- •Перестановки
- •Сочетания
- •Свойства сочетаний
- •§ 2. Основные понятия теории вероятностей
- •2.1. Предмет теории вероятностей
- •2.2. Испытания и события
- •2.3. Классическое определение вероятности
- •Свойства вероятности
- •2.4. Примеры непосредственного вычисления вероятностей
- •2.5. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •2.6. Полная группа событий
- •2.7. Противоположные события
- •§ 3. Теорема умножения вероятностей
- •3.1. Произведение событий
- •3.2. Условная вероятность
- •3.3. Теорема умножения вероятностей зависимых событий
- •3.4. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий
- •3.5. Вероятность появления хотя бы одного события
- •3.6. Теорема сложения вероятностей
- •3.7. Формула полной вероятности
- •3.8. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса
- •§ 4. Повторение испытаний
- •4.1. Формула Бернулли
- •4.2. Локальная теорема Лапласа
- •4.3. Интегральная теорема Лапласа
- •§ 4. Виды случайных величин. Задание дискретной случайной величины
- •5.1. Случайная величина
- •5.2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •5.3. Биномиальное распределение
- •5.4. Распределение Пуассона
- •5.5. Геометрическое распределение
- •§ 6. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •6.1. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •6.2. Свойства математического ожидания
- •§ 7. Дисперсия дискретной случайной величины
- •7.1. Отклонение случайной величины
- •7.2. Дисперсия дискретной случайной величины
- •7.3. Свойства дисперсии
- •7.4. Среднее квадратическое отклонение
- •§ 8. Функция распределения вероятностей случайной величины
- •8.1. Основные понятия
- •8.2. Свойства функции распределения
- •§ 9. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •9.1. Основные понятия
- •9.2. Свойства плотности распределения
- •§ 10. Нормальное распределение
- •10.1. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •10.2. Нормальное распределение
- •10.3. Нормальная кривая
- •§ 11. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
- •§ 11. Задания для самостоятельной работы
- •I. Элементы комбинаторики
- •II. Непосредственное вычисление вероятностей
- •III. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •IV. Формула полной вероятности. Формулы Байеса
- •V. Повторные испытания
- •VI. Случайные величины
- •VII. Нормально распределенная случайная величина
- •§ 12. Задания для индивидуальной работы.
- •Литература
- •Приложение
- •Значение функции
- •Значения функции
Введение в теорию вероятностей
§ 1. Элементы комбинаторики
Определение. Если подмножества, отличающиеся только порядком следования элементов считаются различными, то говорят об упорядоченных подмножествах. В противном случае прилагательное «упорядоченные» опускают.
Например, у множества, состоящего из четырех элементов a, b, c, d имеется 4 трехэлементных подмножества:
abc, abd, bcd, acd
и 24 трехэлементных упорядоченных подмножества:
abc, abd, acd, bcd,
acb, adb, adc, bdc,
bac, bad, cad, cbd,
bca, bda, cda, cdb,
cab, dab, dac, dbc,
cba, dba, dca, dcb.
Примечание. В комбинаторных задачах всегда требуется найти число всех подмножеств данного множества, удовлетворяющих определенным условиям, но в одних задачах подмножества, отличающиеся только установленным в них порядком следования элементов, приходится считать различными, а других порядок следования элементов не важен, и подмножества, отличающиеся только расположением элементов, не считаются различными.
Размещения
Определение. Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n элементов по k элементов.
Поскольку n ≥ k ≥ 0, и размещения из n элементов по k элементов – это все k элементные подмножества, отличающиеся составом элементов или порядком их следования.
Для множества, состоящего из 4-х элементов a, b, c, d, все размещения по 3 элемента были рассмотрены выше (их оказалось 24), они отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.
В комбинаторных задачах необходимо уметь подсчитывать число всех размещений из n элементов по k элементов. Для обозначения этого числа применяется специальный символ:
- число размещений из n по k.
А – первая буква французского слова arrangement, что означает размещение, приведение в порядок. Следовательно,
Очевидно, что так как существует только одно подмножество n-элементного множества, не содержащее элементов (пустое множество).
В общем случае на вопрос о числе размещений из n элементов по k элементов дает ответ следующая формула:
или
Таким образом,
Примеры.
Вычислить .
Решение:
На втором курсе изучается 14 предметов. Сколькими способами можно составить расписание занятий в субботу, если в этот день недели должно быть 5 различных предметов?
Решение: различных способов составления расписания, очевидно, столько, сколько существует пятиэлементных упорядоченных подмножеств у четырнадцатиэлементного множества, т.е.
Перестановки
Определение. Размещения из n элементов по nэлементов называются перестановками из n элементов.
Перестановки являются частным случаем размещений. Число перестановок из n элементов обозначают через Рn. Р – первая буква французского слова permutation – перестановка.
Исходя из вышеизложенного, .
Примеры.
Установить n, если
Решение. решая квадратное уравнение получаем n = 11.
Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются.
Решение. для того, чтобы число, составленное из заданных цифр делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы цифра 5 стояла на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно