4.3.4. Подбор сечения балки
Находим номер стального прокатного двутавра из условия прочности балки по нормальным напряжениям
.
По условию задачи
допускаемое нормальное напряжение
.
Расчётный изгибающий момент берём с
эпюры М:
.
Вычисляем требуемый осевой момент
сопротивления
≃394
.
По сортаменту
прокатной стали “Сталь горячекатаная.
Балки двутавровые. ГОСТ 8239-72”
(табл. 1 приложения) принимаем
I
№ 27а:
;
>
на
% < 5 % , что удовлетворяет требованиям
СНиП.
Находим номер стального прокатного двутавра из условия жёсткости балки:
.
По условию задачи
допускаемая величина прогиба балки
.
Из третьей строки табл. 4.3 находим
значение максимального прогиба с
точностью до постоянного множителя
.
Подставляя это значение в условие
жёсткости, находим с учётом модуля Юнга
для стали
;
.
По сортаменту
(табл. 1 приложения) принимаем
I № 24:
;
≃5 %,
что удовлетворяет рекомендациям СНиП;
.
Так как балка должна удовлетворять условиям прочности и жёсткости одновременно, то окончательно принимаем из двух найденных номеров больший номер двутавра, т. е. I № 27а. В этом случае изгибная жёсткость поперечного сечения балки
.
Делим третью
строку табл. 4.3 на изгибную жёсткость
и умножаем на
,
в результате чего получаем значения
прогибов
,
выраженные в мм, которые записываем в
четвёртую строку и переносим на уже
построенную эпюру
,
(рис. 4.3, г).
4.3.5. Проверки правильности решения задачи
1. Статическая проверка. Условия равновесия балки выполняются, так как тождественно выполняются уравнения ; (п. 4.3.2). Эпюры Q и M удовлетворяют ньютоновским, дифференциальным и интегральным проверкам (см. гл. 3). В частности, в точках смены знаков эпюры Q на эпюре M имеют место экстремумы; на эпюре Q получились скачки, равные значениям сосредоточенных сил; на эпюре M имеются скачки, равные внешним моментам (рис. 4.3, б, в).
2.
Кинематическая проверка.
Условия закрепления балки выполняются,
так как прогибы в опорах А
и
В равны нулю
и, кроме того, равен нулю угол поворота
в заделке, так как касательная, проведённая
к эпюре прогибов
в точке
,
совпадает с осью Z
(рис. 4.3, г).
Эпюра изгибающих моментов M
также удовлетворяет кинематической
проверке
(п. 4.3.3).
3.
Физическая проверка.
Здесь необходимо убедиться в соответствии
эпюр прогибов
и изгибающих моментов M
дифференциальному уравнению изогнутой
оси балки
,
из которого следует, что радиус кривизны
эпюры прогибов обратно пропорционален
значению изгибающего момента. В частности,
на участках балки с положительными
изгибающими моментами изогнутая ось
должна быть вогнутой, а с отрицательными
моментами – выпуклой и, кроме того, в
точках смены знаков эпюры M
на эпюре
должны наблюдаться точки перегиба (рис.
4.3, в,
г).
4. Прочностная и жёсткостная проверки. Подобранное сечение балки должно удовлетворять условиям прочности и жёсткости, которые являются определяющими при решении задач сопротивления материалов. Вычисляем наибольшее нормальное напряжение и сравниваем его с допускаемым:
.
Недонапряжение
составляет
% < 5 %,
что согласуется с рекомендацией СНиП.
Вычисляем наибольшее
значение прогиба и сравниваем его с
допускаемым. Так как характерные прогибы
уже определены, то с эпюры
находим
.
Отсюда следует, что по жёсткости балка
подобрана с запасом
%
>
5 %,
что не противоречит строительным нормам и правилам.