Проверка нормальности эмпирического распределения

Проводят проверку нормальности эмпирического распределения на основе нескольких методов:

1) на основе описательной статистики определяют

•коэффициент асимметрии: Аs= ;

•коэффициент эксцесса: Ex= .

При нормальном распределении As=0, Ex= 0.

В действительности такое равенство почти не наблюдается. Значения коэффициента асимметрии и эксцесса сравнивают с критическими (стандартными) значениями коэффициента асимметрии и эксцесса приведенными в таблицах 1-2. Если коэффициенты превосходят значения, приведенные в таблицах гипотеза о нормальности распределения (нулевая гипотеза) не принимается. Формулируется вывод о наличии у распределения значимой асимметрии и эксцесса.

2) на основе сравнения гистограммы выборочного распределения с кривой нормального распределения; интервалы (число классов) для построения гистограммы определяют по формуле:

int=1,5+3,3•log10 (N)

Интервалы (число классов) можно определить по таблице 8.

Таблица 8

Объем выборки и число классов

Объем выборки, n	Число классов, k	Объем выборки, n	Число классов
12 – 22	5	94 – 187	8
23 – 46	6	188 – 377	9
47 – 93	7	>=388	10 – 12

Подчитываются фактические частоты f (число значений в каждом интервале); по 1-й функции нормального распределения определяются теоретические частоты .

3) по критериям нормальности:

•критерий Колмогорова-Смирнова d= max •( ) основан на максимуме разности между кумулятивным распределением выборки и теоретическим кумулятивным распределением; при определении значения вероятности на основе средней арифметической и стандартного отклонения известных априори, используются значения вероятности табулированные Massey; если средняя арифметическая и стандартное отклонение предполагаемого распределения не известны (они оцениваются из выборки данных) значения вероятности табулированные Massey не верны, в этом случае для определения значимости критерия Колмогорова Смирнова используются так называемые вероятности Liliefors (Лилиефорса);

•критерий Шапиро-Уилка основан на отношении линейной несмещенной оценки дисперсии к дисперсии определенной, методом максимального правдоподобия.

Критерий Шапиро-Уилка – один из наиболее эффективных критериев проверки нормальности распределения случайных величин; определяется по формуле: W= , где S²= ; .

Коэффициенты приведены в таблице 9. Критические значения статистики W(α) приведены в таблице 10.

Если W < W(α) , то нулевая гипотеза нормальности распределения отклоняется на уровне значимости α.

Пример 2. Проведено взвешивание крабов (Pachygrapsus crassipes) (г), n=32.

6,1 7,1 6,6 7,0 8,3 9,7 9,1 9,5

9,6 8,6 8,8 10,5 11,6 11,3 10,6 10,5

11,5 11,6 10,7 11,8 11,3 12,5 13,6 12,7

13,8 13,3 12,6 12,4 14,5 15,6 14,7 17,8

Необходимо провести оценку соответствия эмпирических частот теоретическим на основе коэффициента асимметрии (Аs), коэффициента эксцесса (Ех), сравнения гистограммы выборочного распределения с кривой нормального распределения, по критериям: Колмогорова-Смирнова (d), Шапиро-Уилка, вероятности Лилиефорса.

Для оценки соответствия эмпирического распределения нормальному типу предназначена вкладка Normality. При работе с непрерывными случайными величинами нужно установить флажок на Number intervals и указать число классов для построения гистограммы или таблицы частот (Frequency tables). При выборе опции ожидаемые частоты (Normal expected frequencies) на гистограмму накладывается кривая нормального распределения. Тип распределения оценивается на основе расчета критериев Колмогорова-Смирнова, Шапиро-Уилка и оценки их значимости.

При работе с дискретными переменными выбирается опция Integer intervals.Число интервалов определяется числом различных значений переменной.

Результаты обработки.

Средний показатель массы тела = 11,1±0,48; среднее квадратическое отклонение S_x =2,7; Аs± =0,2±0,41; Ex± =0,04±0,81, S²= =227,07;

W= =0,4188•(17,8-6,1)+0,2898•(15,6-6,6)+0,2463•(14,7-7,0)+0,2141•(14,5-7,1)+0,1878•(13,8-8,3)+0,1651•(13,6-8,6)+0,1449•(13,3-8,8)+0,1265•(12,7-9,1)+0,1093•(12,6-9,5)+0,0931•(12,5-9,6)+0,0777•(12,4-9,7)+0,0629•(11,8-10,5)+0,0485•(11,6-10,5)+0,0344•(11,6-10,6)+0,0206•(11,5-10,7)+0,0068•(11,3-11,3)=14,9837.

Коэффициенты: 0,4188; 0,2898; 0,2463; 0,2141; 0,1878; 0,1651; 0,1449; 0,1265; 0,1093; 0,0931; 0,0777; 0,0629; 0,0485; 0,0344; 0,0206; 0,0068 взяты из таблицы 8 а Коэффициенты (х ) Критерия Шапиро-Уилка (n=32). Значения найдены путем вычитания из наибольшего значения наименьшего (для этого значения должны быть расположены в порядке возрастания).

6,1 6,6 7,0 7,1 8,3 8,6 8,8 9,1 9,5 9,6 9,7 10,5 10,5 10,6 10,7 11,3 11,3 11,5 11,6 11,6 11,8 12,4 12,5 12,6 12,7 13,3 13,6 13,8 14,5 14,7 15,6 17,8

Критерий Колмогорова-Смирнова d=0,06808, Р>0,20; вероятность Лилиефорса Р>0,20;Критерий Шапиро-Уилка W=0,98692, Р=0,95751.

Принимается нулевая гипотеза. Распределение не отличается от нормального.

Критерий Шапиро-Уилка W= = 14,9837²=0,98.

Критические значение Шапиро-Уилка для Р=0,05 и n=32 равно 0,93 (табл. 10). Так как W=0,98>W ₃₂ (0,05)=0,93, гипотеза нормальности распределения не отклоняется.

Таблица 9

Коэффициенты (х ) критерия Шапиро-Уилка

n	I
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
3	7071
4	6872	1677
5	6646	2413
6	6431	2806	0875
7	6233	3031	1401
8	6052	3164	1743	0561
9	5888	3244	1976	0947
10	5739	3291	2141	1224	0399
11	5601	3315	2260	1429	0695
12	5475	3325	2347	1586	0922	0303
13	5359	3325	2412	1707	1099	0539
14	5251	3318	2460	1802	1240	0727	0240
15	5150	3306	2495	1878	1353	0880	0433
16	5056	3290	2521	1939	1447	1005	9593	0196
17	4968	3273	2540	1988	1524	1109	0725	0359
18	4886	3253	2553	2027	1587	1197	0837	0496	0173
19	4808	3232	2561	2059	1641	1271	0932	0612	0303
20	4734	3211	2565	2085	1686	1334	1013	0711	0422	0140
21	4634	3185	2578	2119	1736	1399	1092	0804	0530	0263
22	4590	3156	2571	2131	1764	1430	1150	0878	0618	0368	0122
23	4542	3126	2563	2139	1787	1480	1201	0941	0696	0459	0228
24	4493	3098	2554	2124	1807	1512	1245	0997	0764	0539	0321	0107
25	4450	3069	2543	2148	1822	1539	1283	1046	0823	0610	0403	0200
26	4407	3043	2533	2151	1836	1563	1316	1089	0876	0672	0476	0284
27	4366	3018	2522	2152	1848	1584	1346	1128	0923	0728	0540	0358
28	4328	2992	2510	2151	1857	1601	1372	1162	0965	0778	0598	0424
29	4291	2968	4299	2150	1864	1616	1395	1192	1002	0822	0690	0483
30	4254	2944	2487	2148	1870	1630	1415	1219	1036	0862	0697	0537
31	4220	2921	2475	2145	1874	1641	1433	1243	1066	0899	0739	0585
32	4188	2898	2463	2141	1878	1651	1449	1265	1093	0931	0777	0629
33	4156	2876	2451	2137	1880	1660	1463	1284	1118	0961	0812	0669
34	4127	2854	2439	2132	1882	1667	1475	1301	1140	0988	0844	0706
35	4096	2834	2427	2127	1883	1673	1487	1317	1160	1013	0873	0739
36	4068	2813	2415	2121	1883	1678	1496	1331	1179	1036	0900	0770
37	4040	2794	2403	2116	1883	1683	1505	1344	1196	1056	0924	0798
38	4015	2774	2391	2110	1881	1686	1513	1356	1211	1075	0947	0824
39	3989	2755	2380	2104	1880	1689	1520	1366	1225	1092	0967	0848
40	3964	2737	2368	2098	1878	1691	1526	1376	1237	1108	0986	0870
41	3940	2719	2357	2091	1876	1693	1531	1384	1249	1123	1004	0891
42	3917	2701	2345	2085	1874	1694	1535	1392	1259	1136	1020	0909
43	3894	2684	2334	2078	1871	1695	1539	1398	1269	1149	1035	0927
44	3872	2667	2323	2072	1868	1695	1542	1405	1278	1160	1049	0943
45	3850	2651	2313	2065	1865	1695	1545	1410	1286	1170	1062	0959
46	3830	2635	2302	2958	1862	1695	1548	1415	1293	1180	1073	0972
47	3808	2620	2291	2052	1859	1695	1550	1420	1300	1189	1085	0986
48	3789	2604	2281	2045	1855	1693	1551	1423	1306	1197	1095	0998
49	3770	2589	2271	2038	1851	1692	1553	1427	1312	1295	1105	1010
50	3751	2574	2260	2032	1847	1691	1554	1430	1317	1212	1113	1020

Продолжение таблицы 9

Коэффициенты (х ) критерия Шапиро Уилка

n	I
	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
26	0094
27	0178
28	0253	0084
29	0320	0159
30	0381	0227	0076
31	0435	0289	0144
32	0485	0344	0206	0068
33	0530	0395	0262	0131
34	0572	0441	0314	0187	0062
35	0610	0484	0361	0239	0119
36	0645	0523	0404	0287	0172	0057
37	0677	0559	0444	0331	0220	0110
38	0706	0592	0481	0372	0264	0158	0053
39	0733	0622	0515	0409	0305	0203	0101
40	0759	0651	0546	0444	0343	0244	0146	0049
41	0782	0677	0575	0476	0379	0283	0188	0094
42	0804	0701	0602	0506	0411	0318	0227	0136	0045
43	0824	0724	0628	0534	0442	0352	0263	0175	0087
44	0842	0745	0651	0560	0471	0383	0296	0211	0126	0042
45	0860	0765	0673	0584	0497	0412	0328	0245	0163	0081
46	0876	0783	0694	0607	0522	0439	0357	0277	0197	0118	0039
47	0892	0801	0713	0628	0546	0465	0385	0307	0229	0153	0076
48	0906	0817	0731	0648	0568	0489	0411	0335	0259	0185	0111	0037
49	0919	0832	0748	0667	0588	0511	0436	0361	0288	0215	0143	0071
50	0932	0846	0764	0685	0608	0532	0459	0386	0314	0244	0174	0104	0035

Заключение

Выборочная средняя арифметическая = 11,1±0,48; выборочное среднее квадратическое отклонение =2.7; коэффициент асимметрии =0,2±0,41 ( =0,621, n =35); коэффициент эксцесса =0,04±0,81 ( =0,85, n=36). Коэффициенты асимметрии и эксцесса меньше критических значений (таблицы 1-2).

Критерий Колмогорова-Смирнова d=0,06808, Р>0,2 (значимость больше 0,05); вероятность Лилиефорса Р>0,2 (значимость больше 0,5). Критерий Шапиро-Уилка W=0,98692>0,93; Р=0,95751 (значимость больше 0,05). Принимается нулевая гипотеза. Распределение не отличается от нормального.

Вывод. Коэффициент асимметрии и эксцесса больше критических значений. Уровень значимости критерия Колмогорова-Смирнова (d), Шапиро-Уилка больше 0,05. Распределение отвечает нормальному типу.

Таблица 10

Критические значения критерия Шапиро-Уилка W(α),

(α – уровень значимости)

N	Α		N	Α
	0,05	0,01		0,05	0,01
3	0.767	0.737	27	0.923	0.894
4	0.748	0.687	28	0.924	0.896
5	0.762	0.686	29	0.926	0.898
6	0.788	0.713	30	0.927	0.900
7	0.803	0.730	31	0.929	0.902
8	0.818	0.749	32	0.930	0.904
9	0.829	0.764	33	0.931	0.906
10	0.842	0.781	34	0.933	0.908
11	0.850	0.792	35	0.934	0.910
12	0.859	0.805	36	0.935	0.912
13	0.866	0.814	37	0.936	0.914
14	0.974	0.825	38	0.938	0.916
15	0.881	0.835	39	0.939	0.917
16	0.887	0.844	40	0.940	0.919
17	0.892	0.851	41	0.941	0.920
18	0.897	0.858	42	0.942	0.922
19	0.901	0.863	43	0.943	0.923
20	0.905	0.868	44	0.944	0.924
21	0.908	0.873	45	0.945	0.926
22	0.911	0.878	46	0.945	0.927
23	0.914	0.881	47	0.946	0.928
24	0.916	0.884	48	0.947	0.929
25	0.918	0.888	49	0.947	0.929
26	0.920	0.891	50	0.947	0.930

Пример 3. Проведено взвешивание кроликов, n=30.

1,9	2,4	3,0	1,2	2,1	1,1	1,2	1,1	2,2	2,1
2,3	1,5	1,3	2,2	1,3	1,1	2,1	1,01	1,8	1,9
1,8	3,2	2,1	1,3	3,0	1,3	2,0	1,1	1,3	1,9

Проведите оценку соответствия эмпирических частот теоретическим на основе коэффициента асимметрии (Аs), коэффициента эксцесса (Ех), сравнения гистограммы выборочного распределения с кривой нормального распределения, по критериям: Колмогорова-Смирнова (d), Шапиро-Уилка, вероятности Лилиефорса.

Результаты обработки.

Средний показатель массы тела = 1,8±0,11; среднее квадратическое отклонение S_x =0,6; Аs± =0,67±0,42; Ex± =-0,14±0,83.

Критерий Колмогорова-Смирнова d=0,16489, р>0,2 (значимость больше 0,05); вероятность Лилиефорса р<0,05 (значимость меньше 0,05). Критерий Шапиро-Уилка W=0,91499, р=0,01993 (значимость меньше 0,05). Гипотеза 1. Распределение отличается от нормального.

Заключение

Выборочная средняя арифметическая = 1,8±0,11; выборочное среднее квадратическое отклонение =0,6; коэффициент асимметрии =0,67±0,42 ( =0,621, n =35); коэффициент эксцесса

=-0,14±0,83 ( =0,85, n=36). Коэффициент асимметрии больше критического значения (таблица 1). Коэффициент эксцесса меньше критического значения (таблица 2). Критерий Колмогорова-Смирнова d=0,16489, Р>0,2 (значимость больше 0,05); вероятность Лилиефорса Р<0,05 (значимость меньше 0,05). Критерий Шапиро-Уилка W=0,91499, р=0,01993 (значимость меньше 0,05). Нулевая гипотеза не принимается. Распределение отличается от нормального.

Вывод. Коэффициент асимметрии больше критического значения. Уровень значимости Шапиро-Уилка и вероятность Лилиефорса меньше 0,05. Распределение не отвечает нормальному типу.

При проверке нормальности распределения статистические программы определяют:

• критерий хи-квадрат -

где f – фактические частоты; f´ – теоретические частоты.

Вычисленное значение хи-квадрат (критерий соответствия) сравнивается со стандартным с учетом числа степеней свободы.

Символ 2 не является квадратом какого-либо числа, выражает лишь исходную величину отклонения фактического распределения от теоретического.

•критерий омега квадрат , оценивает различия между распределениями на всем интервале выборочных значений. Критерий омега квадрат ( ) менее исследован, нет таблиц критических значений. Оценивается уровень значимости Р=2,383 • , где W = n• .

Рассчитанный уровень значимости сравнивается с первым уровнем значимости Р=0,05. Если рассчитанный уровень Р˃ 0,05 распределение соответствует нормальному типу.

Задания для самостоятельной работы

Задание 1.

19,8 16,7 17,6 16,5 14,4 14,6 15,3 15,8 14,7 15,6 14,5 13,3 13,8 12,7 13,6 13,5 12,5 12,6 13,3 13,6 12,5 10,8 10,6 11,6 11,5 11,1 11,7 10,3 9,0 8,6 9,1 8,1

Оцените тип распределения в выборочной совокупности (масса тела крабов Pachygrapsus crassipes,г) по следующей схеме: выборочная средняя арифметическая ; выборочное среднее квадратическое отклонение ; коэффициент асимметрии =( =0,621, n =35 ), значимость = ( больше 0,05); коэффициент эксцесса , ( =0,858, n=36), значимость = (больше 0,05). Критерий Колмогорова-Смирнова d=(значимость больше 0,05); вероятность Лилиефорса (значимость больше 0,05). Критерий Шапиро-Уилка W= (значимость больше 0,05).

Задание 2.

7,8 16,7 17,6 16,5 14,4 14,6 15,3 7,8 14,7 15,6 14,5 13,3 13,8 12,7 7,6 7,5 12,5 7,6 13,3 13,6 12,5 7,8 7,6 6,6 7,5 11,1 11,7 10,3 9,0 7,6 7,1 8,1

Оцените тип распределения в выборочной совокупности (масса тела крабов Pachygrapsus crassipes, г) по следующей схеме: выборочная средняя арифметическая ; выборочное среднее квадратическое отклонение ; коэффициент асимметрии =( =0,621, n =35), значимость = (больше 0,05); коэффициент эксцесса , ( =0,858, n=36), значимость = (больше 0,05). Критерий Колмогорова-Смирнова d= (значимость больше 0,05); вероятность Лилиефорса (значимость больше 0,05). Критерий Шапиро-Уилка W= (значимость больше 0,05).