Обходы графа в глубину и в ширину
Во многих задачах с использованием графов необходимо обходить все вершины и(или) ребра (дуги) графа. Обойти граф – это значит побывать во всех его вершинах по одному разу. Существует два классических алгоритма обхода графа – в глубину и в ширину.
Алгоритмы обхода дерева в глубину представляет обобщение алгоритма обхода дерева в прямом порядке.
Например, используя рекурсивную процедуру, алгоритм обхода графа G, заданного матрицей смежности, в глубину можно записать следующим образом:
procedure ОБХОД-В-ГЛУБИНУ(p:вершина);
begin
Посетить вершину p;
for all q from множества вершин, смежных с p do
if q еще не посещалась then ОБХОД-В-ГЛУБИНУ(q) end
end
end;
begin
for all p from множества вершин G do
if p еще не посещалась then ОБХОД-В-ГЛУБИНУ(p) end
end
end.
Для того, чтобы отличать просмотренные вершины от непросмотренных можно ввести массив размерности n, чьи элементы будут принимать значения 1или 0 в зависимости от того просмотрена вершина или нет.
В результате работы алгоритма пройденные ребра графа образуют вместе с посещенными вершинами одно или несколько деревьев (по одному дереву для каждой компоненты связности графа). Если приписать пройденным ребрам ориентацию в соответствии с тем направлением, в каком они проходятся при выполнении алгоритма, то мы получим совокупность ордеревьев, причем их корнями будут служить все те вершины, которые в процессе работы алгоритма помещались в пустой стек. Например, для графа, изображенного на рис. а, описанным способом будут получены два ордерева, приведенных на рис. б. Порядок на всем множестве вершин графа, а также порядок вершин, смежных всякой его вершине, соответствует алфавитному порядку букв, помечающих вершины.
Нерекурсивный вариант алгоритма обхода графа G в глубину может иметь следующий вид:
procedure ОБХОД-В-ГЛУБИНУ-1(p: вершина);
begin
Посетить вершину p и поместить ее в пустой стек S;
while Стек S непуст do
Пусть p -- вершина, находящаяся на верхушке стека S;
if у p есть непосещенные смежные вершины then
Пусть q -- непосещенная вершина, смежная вершине p;
Пройти по ребру (p,q), посетить вершину q и поместить ее в стек S
else Удалить вершину p из стека S
end
end
end;
Обход в ширину связного графа предполагает рассмотрение всех его вершин в порядке возрастания расстояния от некоторой вершины, с которой начался данный обход графа. То есть для вершины v сначала рассматриваются все вершины, смежные с ней и таким образом чем позже посмотрена вершина, тем позже она используются. Поэтому для хранения просмотренных вершин используется очередь. Например, в результате обхода графа G (рис. a) в ширину возможен следующий порядок посещения вершин: A, B, С, D, H, K, L, E, F, G Следующий алгоритм позволяет осуществить обход в ширину любого связного графа G:
procedure ОБХОД-В-ШИРИНУ(p: вершина);
begin
Поместить произвольную вершину p в пустую очередь O;
while очередь O не пуста do
Взять первую вершину p из очереди O;
if p еще не посещалась then
Посетить вершину p и поместить в очередь O все непросмотренные вершины, смежные с p
end
end
end;