Лекция 22. Понятие о механике разрушения

Постановка вопроса о прочности

Основной областью применения сопротивления материалов и в целом механики деформируемого твердого тела является оцен­ка прочности реальных материалов и элементов конструкций при их эксплуатации. Определение напряжений, деформаций и переме­щений в телах еще не дает ответа на вопрос об их прочности. Термин «прочность» требует некоторого разъяснения. В широком смысле слова под нарушением прочности (разрушением) понима­ется достижение такого состояния, когда нарушается конструктивная функция тела и оно становится непригодным к эксплуа­тации. В прямом, но более узком смысле слова, под нарушени­ем прочности (разрушением) понимается разделение тела на части. Для пластичных материалов под разрушением следует по­нимать возможность появления недопустимо больших деформаций. Заметим, что для пластичных материалов выполнение условия пластичности в одной точке тела еще не означает потери его несущей способности. Например, в балке на рис. 22.1,а появле­ние пластичности в точках А и В среднего опасного сечения не представляет реальной опасности. Поэтому расчет по методу допускаемых напряжений для пластичного материала безусловно гарантирует прочность элемента конструкции. В то же время перемещения в балке остаются ограниченными, и потому обнаруживается значительный резерв прочности.

а) б) в)

Рис. 22.1

При увеличении внешней нагрузки заштрихованные пласти­ческие зоны расширяются и, наконец, соединяются, отделяя при этом жесткие части А и В друг от друга (рис. 22.1, б). Эти части могут теперь свободно перемещаться друг относительно друга, а тело балки получает неограниченно большие деформа­ции и перемещения (рис.22.1, в). Поэтому расчет по методу до­пускаемых нагрузок представляет собой расчет на прочность. С другой стороны, пластические материалы при низких температурах разрушается без заметных пластических деформаций. Такое раз­рушение называют хрупким в результате разрыва материала. Разрушение хрупкого материала начинается локально с от­дельной микротрещины путём её разрастания. Локальное разруше­ние служит источником концентрации напряжений и потому может послужить началом мгновенного разрушения тела в целом путем разделения на части. Поэтому расчет хрупких материалов на прочность по допускаемым напряжениям в наиболее напряженной точке тела оправдан.

Отметим, что деление материалов на пластические и хруп­кие является условным. Например, хрупкие материалы (бетон, гранит и др.) при высоких давлениях и температурах обнаружи­вают значительные пластические деформации. Существенную роль в оценке прочности играет время.

Разрушение является процессом, развертывающимся во времени, и потому может произойти при разных уровнях напряжений. Так, в условиях ползучести мы ввели понятие о времени разрушения, пределе длительной проч­ности (напряжении, приводящем к разрушению через определен­ное время). Таким образом, проблема прочности и разрушения за­висит от многих факторов и очень сложна. Несмотря на сложность проблемы, в сопротивлении материа­лов есть разделы, с помощью которых можно прямо и непосредс­твенно ответить на вопрос о возможности разрушения. Это раз­делы об устойчивости и колебаниях упругих и упругопластических систем.

Достижение нагрузкой предельной величины можно считать за момент разрушения. Если частота возмущающей силы совпадает с частотой низщих собственных колебаний, наступает резонанс с недопустимо большими перемещениями, приводящими к разрушению. Отметим, что резонанс на высоких гармониках, как правило, не страшен.

Классификация разрушений.

По своему характеру разрушение подразделяется на следующие виды.

Пластическое. Происходит после существенной пластической деформации, протекающей по всему или почти по всему объему тела. Примером пластического разрушения может служить разрыв образца из отожженной меди после 100% сужения шейки при растяжении, происходящий в результате утраты способности материала сопротивляться пластической деформации.

Хрупкое. Происходит в результате распространения магистральной трещины после пластической деформации, сосредоточенной в области действия механизма разрушения. Хрупкое разрушение подразделяется на идеально хрупкое и квазихрупкое (как бы хрупкое).

Идеально хрупкое или хрупкое разрушение происходит без пластической деформации. После разрушения можно заново составить тело прежних размеров из осколков зазоров между ними.

Квазихрупкое разрушение предполагает наличие пластической зоны перед краем трещины (локальная зона пластической деформации) и наклепанного материала у поверхности трещины. Остальной, значительно больший по величине, объем тела находится при этом в упругом состоянии.

Усталостное. Происходит при повторно-циклическом нагружении в результате накопления необратимых повреждений. При этом виде разрушения на поверхности тела вначале появляются микротрещины, одна из которых в результате многократного приложения нагрузки прорастает в макротрещину с последующим полным разрушением образца или детали машин. Различают многоцикловую или малоцикловую усталость.

Многоцикловая усталость или просто усталость характеризуется номинальными напряжениями, меньшими предела текучести ; повторное нагружение происходит в упругой области вплоть до разрушения.

Малоцикловая усталость характеризуется номинальными напряжениями, большими предела текучести . При каждом цикле нагружения в теле возникает макроскопическая пластическая деформация. При таком виде нагружения число циклов до разрушения не превышает 10⁵.

Деформация и разрушение при ползучести. При достаточно высоких температурах в поликристаллическом металле границы зерен становятся более слабыми, чем сами зерна, и значительная часть деформации ползучести происходит за счет скольжения зерен относительно друг друга. Это скольжение носит характер вязкого течения, оно затруднено кинематически, т.к. зерна имеют неправильную форму и каждое зерно встречает сопротивление со стороны соседних. Скольжение становится возможным за счет пластической деформации зерен и сопровождается появлением межзеренных трещин, приводящих к разрушению.

Коррозионное разрушение. Происходит за счет химических и электрохимических процессов и реакций. Коррозия часто не изменяет механические свойства материала, а приводит к постепенному равномерному уменьшению размеров нагруженной детали, например, вследствие постепенного растворения. В результате напряжения, действующие в опасном сечении, растут, и, когда они превысят допустимый уровень, произойдет разрушение.

Хрупкое и пластическое разрушение

В начале мы ввели понятия о двух простейших типах разрушения:

1) хрупком– путем отрыва от наибольших растягивающих нормальных напряжений ;

2) пластичном – путем сдвига от максимальных касательных напряжений .

Схематически эти условия пока­заны на рис.22.2 с помощью прямых 1-1 и 2-2.

Свойство материала разру­шаться пластически (вязко) или хрупко не является абсолютным. Каждое тело обладает тем и другим свойством в большей или меньшей степени в зависи­мости от температуры, внешне­го давления, скорости нагружения, времени нагружения и др.

Рис. 22.2

Пусть напряженное состояние в точке тела описывается ок­ружностью Мора 1 (рис. 22.2), которая касается вертикальной прямой 1-1 и не пересекает прямой 2-2, в этом случае прои­зойдет хрупкое разрушение материала путем отрыва, и критерий разрушения запишется в виде:

. (22.1)

Сопротивление отрыву R считается постоянной величиной, не зависяшей от вида напряженного состояния. Если окружность Мора касается горизонтальной прямой 2-2, то наступает те­кучесть материала при касательном напряжении , которая может привести, а может и не привести к большим дефор­мациям.

Изложенная простая схема разрушения носит довольно грубый и приближённый характер в силу того, что разрушение является смешанным. Однако представление о существовании двух видов разрушения материалов путём сдвига и отрыва имело и имеет положительное методическое значение для объяснения физической стороны вопроса о разрушении.

Ещё одним простейшим критерием хрупкого разрушения материалов является критерий наибольших удлинений Сен-Венана, согласно которому предельное состояние материала в частице тела достигается тогда, когда максимальное растягивающее удлинение достигает некоторого предельного постоянного значения, равного относительному удлинению при разрыве от растяжения, т.е.:

Для хрупкого материала Поэтому получаем:

,

где величину назовём эквивалентным удлинением.

Данный критерий не нашёл на практике должного экспериментального подтверждения. Однако он в некоторых случаях даёт качественное подтверждение характера разрушения материалов. Например, при сжатии ряда горных пород возникают продольные трещины разрушения. При сжатии и выпучивании цилиндрической оболочки из дюраля возникают продольные трещины от окружного растяжения при отсутствии соответствующего растягивающего напряжения и др.

Условия пластичности и разрушения материалов

Условия (критерии) пластичности и разрушения являются важными обобщениями понятий пределов текучести и прочности при одноосном растяжении (сжатии) на случай сложного напряжённого состояния (рис. 22.3).

Рис. 22.3

При одноосном растяжении предельные условия перехода в пластическое состояние и разрушение имеют соответственно вид (рис. 22.3)

а условие прочности –

Предположим, что для любого сложного напряжённого состояния можно найти ему равноопасное одноосное напряжённое состояние, осуществляемое некоторым эквивалентным напряжением

являющимся комбинацией главных напряжений. Тогда предельные условия при сложном напряжённом состоянии могут быть записаны в виде

(22.2)

а условие прочности –

. (22.3)

Такая постановка задачи не является безупречной, но в то же время она удобна для ведения практических расчётов на прочность. Рассмотрим два критерия (условия) перехода тела из упругого состояния в неупругое или пластическое.

Условие пластичности Сен-Венана.

Согласно этому критерию свойство пластичности материала при сложном напряжённом состоянии начинает проявляться тогда, когда максимальное касательное напряжение достигает некоторого предельного постоянного значения , т.е.

(22.4)

В случае простого растяжения предельное условие имеет место при Поэтому из (22.4) имеем Условие пластичности принимает вид

(22.5)

В случае чистого сдвига имеем Следовательно, должно выполняться условие:

Сравнивая (22.5) с (22.2) видим, что . Условие прочности, согласно (22.3), запишем в виде

. (22.6)

Условие пластичности (22.5) Сен-Венана достаточно хорошо подтверждается экспериментами. Его недостатком является то, что не учитывает среднее главное напряжение

Условие (критерий) пластичности Мизеса.

Согласно этому критерию материал переходит в пластическое состояние тогда, когда октаэдрическое касательное напряжение достигает некоторого предельного постоянного значения, т.е.

(22.7)

При простом растяжении это условие соответствует Следовательно, и потому, согласно (22.2),

(22.8)

Следовательно,

.

В случае чистого сдвига Из (22.7) следует Сравнивая значения постоянных при растяжении и чистом сдвиге, находим связь между пределами текучести:

Условие пластичности Мизеса (22.8) лучше соответствует экспериментальным данным, нежели условие пластичности Сен-Венана (22.5). В отличие от последнего, условие пластичности Мизеса учитывает все три главных напряжения Отметим, что условие Сен-Венана и Мизеса дают различные формулы, связывающие пределы текучести и при чистом плоском сдвиге и растяжении.

Теория прочности Мора (1860г.)

Согласно этой теории нарушение прочности происходит тог­да, когда на некоторой площадке с нормалью возникает наи­более неблагоприятная комбинация нормального и касательного напряжений. Запишем это условие в виде

(22.9)

Чтобы сформулировать условие Мора (22.9) в терминах глав­ных напряжений, воспользуемся кругами напряжений Мора.

Если , то мы можем в одной плоскости построить три окружности Мора (рис.22.4, а). Условие (22.9) изображается в этой плоскости некоторой кривой.

а) б)

Рис. 22.4

Если окружность большого круга Мора не касается предельной кривой, как показано на рис. 22.4, а, то разрушения не произойдет. Если круг Мора коснется предельной кривой (рис.22.4, б), то произойдет локальное разрушение. Следовательно, становится ясным, как построить предельную кривую . Необходимо провести несколько испытаний до раз­рушения при различных однородных напряженных состояниях, т.е. различных сотношениях , а затем построить круги Мора. На рис. 22.5 построены три предельных круга Мора для случаев растяжения чистого сдвига и сжатия. Огибающая этих предельных окружностей и будет предельной кривой. Наиболее просто построить предельные окружности Мора при растя­жении и сжатии (рис. 22.6, а). Проведем к ним касательную и допустим, что эта касательная служит предельной огибающей

Это внесет некоторую погрешность в наши рассуждения.

Рассмотрим теперь произвольную предельную окружность Мора, касающуюся предельной прямой огибающей (рис. 22.6, б). Из подобия треугольников АОВ и CDB следует: .

Рис. 22.5

Рис. 22.6

Поскольку

то

Так как отрезки АО, ОВ, АВ - фиксированы, то получаем связь между и в виде

В случае растяжения в предельном состоянии , и потому . В случае сжатия Следовательно, . Таким образом, условие разрушения по Мору

принимает вид:

(22.10)

Условие прочности для хрупких материалов по Мору принима­ет вид:

, (22.11)

где - допустимое напряжение на растяжение.

Для пластичных материалов ( ) условие (22.10) превращается в условие прочности по Сен-Венану. Отметим, что у некоторых пластичных материалов пределы текучести при растяжении и сжатии различны, т.е. . В этом случае условие Мора (22.10) преобразуется в условие пластичности для таких материалов:

(22.12)

Недостатком теории Мора является то, что она не учитыва­ет среднего главного напряжения , т.е. по существу обос­нована только для плоского напряженного состояния.

Чтобы устранить этот недостаток, Шлейхером (1926г.) было предложено считать, что предельное состояние (разрушение) достигается тогда, когда возникает наиболее неблагоприятная комбинация октаэдрических касательного и нормального напря­жений:

.

При приходим к условию пластичности Мизеса (прямая 1-1 на pис.22.7). В общем случае пре­дельная кривая является гладкой. Прямая 2-2 соответствует хрупкому разрушению от всестороннего растяжения. Эта кривая задается некоторым аналитическим выражением, соответствующим экспериментальным данным.

Рис. 22.7

В механике горных пород теория прочности Мора нашла широкое применение.

На рис. 22.8,а изображён круг напряжений Мора радиусом произвольного предельного напряжённого состояния, а также круг Мора в предельном состоянии для напряжённого состояния чистого сдвига.

а) б)

Рис. 22.8

Уравнение предельной прямой АВ представим в виде

где называют коэффициентом сцепления горных пород, величину – сопротивлением всестороннему растяжению, угол внутреннего трения.

Если , то среду называют идеально связной (металлы, бетон, гранит и др.). Если , то среду называют сыпучей (сухой песок). Последняя совершенно не воспринимает растяжение (рис. 22.8,б).

Из подобия СДВ и OFB (рис. 22.8,а) находим:

,

или, с учётом

откуда

(22.13)

Величины

представляют собой параметры предельного состояния горной породы. Величина может быть названа расчётным сопротивлением среды. Оба параметра , a выражены через два других параметра предельного состояния: сцепления среды и угол внутреннего трения .

Определяем главные напряжения по формуле: