МАЛЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КубГУ

ПЛАНИМЕТРИЯ (11 класс)

Титов Г.Н.

Задания по планиметрии тематически разбиты на десять пунктов. В каждом пункте кратко изложен необходимый теоретический материал и приведен список заданий. Предполагается, что к первому занятию по планиметрии 31.03.12 следует изучить теорию и рассмотреть задания пунктов 1–5, ко второму занятию 07.04.12 – задания пунктов 6–10. Перед занятием желательно ознакомиться с соответствующим материалом по указанным темам в школьных учебниках геометрии за 7 – 9 классы. Заметим, что в теоретических сведениях к решению заданий по первым пяти темам отсутствуют полностью рисунки. Эти рисунки для наилучшего понимания и запоминания материала необходимо сделать самостоятельно.

1. Прямоугольный треугольник

Пусть a, b и c – стороны ВС, АС и АВ (для краткости не говорим «длины сторон») прямоугольного треугольника АВС , где С = 90⁰. Вспоминаем, что а, b – катеты, а с – гипотенуза, причем по теореме Пифагора a² + b² = c². Если А = , то имеем равенства:

Sin  = a/c, Cos  = b/c, tg  = a/b и ctg  = b/a. Необходимо научиться , используя эти равенства, находить неизвестные стороны и углы прямоугольного треугольника, когда известны одна его сторона и острый угол.

В заданиях 1.1 – 1.3 найдите неизвестные стороны и углы прямоугольного треугольника АВС (С = 90⁰), если даны d,  и v.

1.1. AB = d, A =  . 1.2. AC = d, CosA = v. 1.3. BC = d, CtgA = v.

При решении задач по этой теме полезно помнить стороны некоторых прямоугольных треугольников с целыми сторонами (египетских треугольников): 3k, 4k, 5k (например, при k = 4 имеем прямоугольный треугольник, у которого катеты равны 12 и 16, а гипотенуза – 20), а также 5k, 12k, 13k и 8k, 15k, 17k. И вообще, стороны любого египетского треугольника, при некоторых натуральных числах m,n,k, где m>n, имеют вид (m²-n²)k, 2mnk, (m²+n²)k.

При решении следующих заданий желательно вспомнить технику, связанную с использованием так называемого «ключевого треугольника», то есть треугольника, данные о котором позволяют находить без труда все его неизвестные стороны и углы. В частности, прямоугольный треугольник будет ключевым, если нам даны, например, две его стороны либо сторона и острый угол.

В заданиях 1.4 – 1.5 найдите неизвестные стороны «ключевого» прямоугольного треугольника АВС (С = 90⁰).

1.4. AC = 16, CosA = 8/17. 1.5. BC = 21, SinB = 24/25.

В заданиях 1.6 – 1.8 требуется найти сторону прямоугольного треугольника, в котором не хватает сведений о его компонентах (сторонах или углах). Чтобы решить задание, найдите ключевой треугольник и определите с помощью него недостающую для исходного прямоугольного треугольника компоненту.

1.6. Высота ВD прямоугольного треугольника АВС, опущенная на гипотенузу , равна 12 и SinA = 3/5. Найдите гипотенузу.

1.7. Катет ВС прямоугольного треугольника АВС (С = 90⁰) равен 15 и tgA = 3/4 . Найдите высоту, опущенную на гипотенузу.

1.8. В прямоугольном треугольнике АВС точка D лежит на катете АВ, причем расстояние от нее до гипотенузы равно расстоянию до вершины А и равно . Найдите катет АС, если В = 30⁰.

Пусть в прямоугольном треугольнике а, b – катеты, с – гипотенуза, h – высота, опущенная на гипотенузу, c_a и c_b – соответствующие проекции катетов а и b на гипотенузу.

Оказывается, учитывая теорему Пифагора и равенства h² = c_a c_b, a² = c_a c, b² = c_b c, мы можем по двум из шести отрезков а, b, c, h, c_a, c_b всегда определить остальные четыре. Если, зная два отрезка, не получается сразу применить теорему Пифагора или одно из этих равенств, то удобно взять за неизвестную х отрезок c_a (или c_b), а затем с помощью одного из трех равенств составить квадратное уравнение относительно х . Используя эту идею, решите задания 1.9 – 1.10.

1.9. Точка D – основание высоты, опущенной на гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС. Найдите АС, если AD = 3 и BD = 9.

1.10. Найдите меньший катет прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна 169, а высота, опущенная на нее, равна 60.