2.2 Координатный метод

Координатный метод является естественным продолжением векторного метода, то есть вектор пространства есть упорядоченная тройка действительных чисел (декартовых прямоугольных координат вектора в ортонормированном базисе). Рациональное расположение фигуры относительно системы координат (некоторые вершины многогранника находятся на координатных осях), позволяет при решении задач упростить вычисления.

Основные формулы, применяемые при решении задач координатным методом:

• Р асстояние между двумя т очками можно вычислить по формуле:

• Ρ(А,В) = , где А( ; ; ), B( ; ; ). │= , где {a, b, c} координаты вектора .

• Расстояние от точки М до плоскости можно вычислить по формуле

(М, ) = , где М ( ). Плоскость задана уравнением ах+bу+сz+d=0.

• Угол между двумя векторами } и вычисляется по формуле:

cos =

координаты вершин некоторых многогранников, часто используемых при решении задач, приведены в приложении №2

3. Практическая часть.

3.1. Расстояние между двумя точками.

Основные теоремы, применяемые при нахождении расстояния между двумя точками – теорема Пифагора, теорема косинусов.

Основные формулы, применяемые при решении задач координатным методом:

• Р асстояние между двумя т очками можно вычислить по формуле:

• Ρ(А,В) = , где А( ; ; ), B( ; ; ). │= , где {a, b, c} координаты вектора .

П ример 1.Ребра правильной четырехугольной призмы равны 1, 4 и 4. Найдите расстояние от вершины до центра основания призмы, не содержащего эту вершину.

Решение. Поэтапно вычислительный метод. АС =4 , АО=2 , О= =3 Координатный метод. (0,0,1), О (2,2,0) О = =3

Пример 2. .В правильной шестиугольной призме ABCDEF , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точками A и . Решение. Поэтапно вычислительный метод. АЕ = , (По теореме косинусов из ∆ AEF), А = 2. Ответ. 2

Координатный метод. А(0,0,0), ( ; ;1), А = = 2. Ответ. 2

3.2. Расстояние от точки до прямой

• Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.

• Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра.

• Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.

поэтапно-вычислительный метод

1.Расстояние от точки до прямой можно вычислить, как длину отрезка перпендикуляра, если удается включить этот отрезок в некоторый треугольник в качестве одной из высот. 2. Еще один подход к нахождению расстояния от точки А до прямой а состоит в том, чтобы найти основание перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую а. Если точка находится вне участка прямой а, данного в задаче, то через точку А проводят прямую с, параллельную а, и выбирают на ней более удобную точку С, ортогональная проекция которой принадлежит данному участку прямой а.

Пример 1. 1. В кубе A…D1, все ребра которого равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой AC1.

Р ешение. 1 способ. Поэтапно-вычислительный. 1. Построим вспомогательный АВ прямоугольный (АВ ВС, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах В АВ). По свойству диагонали куба имеем: А = 3А , А = . АВ=1, В = . 2. В прямоугольном треугольнике АВ найдем высоту, проведенную из вершины прямого угла, длина которой является расстоянием от точки В до прямой AC1. ВН= , ВН= .

2 способ. Координатный. Введем прямоугольную систему координат: ось абсцисс пойдет по прямой АД, ось ординат по ДС, ось аппликат по прямой Д . Тогда В(1;1;0), C1(0;1;1), А(1;0;0). {-1;1;1}, {-1;0;1}, { 0;1;0}, │ │= , │ │= , │ │=1, По теореме косинусов из ∆ А В cos A B = , sin A B= , BH= . Ответ. .

Пример 2. В правильной треугольной призме ABC , все

ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой A .

Решение. 1 способ. Поэтапно-вычислительный. 1. Построим вспомогательный АВ . АВ=1, В = , А = . По теореме косинусов cos A B= , sin A B= . = В А sin A B, = . = A * BH, BH= .

2 способ. Координатный. Введем систему координат таким образом: ось аппликат пойдет по прямой А , ось ординат по прямой АВ, ось абсцисс АВ. Тогда А(0;0;0), В(0;1;0), ( ; ; 1). {0; 1;0}, { ; 1}, { ; 1}, │ │=1, │ │= , │ = . По теореме косинусов cos AC1B= , sin AC1B= . = В А sin AC1B, = ., . = AC1 BH, BH= .Ответ. .