4. Принципы расчета индуктивности катушек с сердечником.

4.1. Наиболее известные методы расчета индуктивности.

4.1.1. Расчет индуктивностей по заданной форме, размерам и взаимному расположению контуров.

Задавшись токами в рассматриваемых контурах, разбивают каждый из токов на элементарные нити тока и, пользуясь законом Био-Савара-Лапласса, определяют напряженность магнитного поля H в произвольно выбранной точке поля. Умножая H на магнитную проницаемость, предполагаемую одинаковой для проводов и окружающей их среды, получают магнитную индукцию B и, пользуясь формулой (1) Ф = , находят поток Ф, сцепляющийся с какой-нибудь нитью тока, после чего по формуле (2) Ψ = вычисляют полный магнитный поток, сцепляющийся с рассматриваемым контуром. Подставляя найденное таким путем значение Ψ в формулу (3) или (4), получают выражение для собственной или соответственно взаимной индуктивности рассматриваемых контуров.

Однако в большинстве случаев для расчета индуктивностей пользуются другими формулами, в которых математические операции, необходимые для получения искомых величин (L или M), указаны явно. Разбив каждый из токов на элементарные нити тока, можно поток Ф, сцепляющийся с какой-нибудь нитью тока di^’, рассматривать как сумму потоков индукции, создаваемых другими нитями (di^’’), т.е. как сумму произведений вида di^’’, где - взаимная индуктивность нитей di’и di’’, причем это суммирование должно быть распространено на все нити данного контура при вычислении L и на все нити другого контура при вычислении М.

Таким образом, поток Ф выразится интегралом вида

Ф = ,

И, подставляя это выражение в (2), а (2) – в (3) и (4), можно написать

L = (5);

M = (6);

Входящая в эти формулы взаимная индуктивность двух нитей тока может быть найдена по формуле

= , (7)

где dl’ и dl” – элементы длины нитей l’ и l”; D – расстояние между этими элементами; - угол между ними, причем нити l’ и l” в формуле для собственной индуктивности принадлежат одному и тому же контуру, а в формуле для взаимной индуктивности – двум различным контурам.

4.1.2. Выражение для индуктивности сложных контуров. Индуктивности участков.

При определении собственных и взаимных индуктивностей контуров, состоящих из нескольких участков, двойной интеграл по нитям i’ и i” в формуле (7) для можно представить в виде двойной суммы таких же интегралов по длинам отдельных участков, после чего для собственной индуктивности L контура, состоящего из n-участков, и взаимной индуктивности М двух контуров, состоящих из n и m участков, получим

L = , i k; (8)

M = , (9)

где L_k и M_ki – интегралы вида (5) и (6), соответствующие отдельным участкам контуров. Эти величины, широко используемые при расчете индуктивностей контуров сложной формы, будем называть соответственно собственной индуктивностью k-го участка и взаимной индуктивностью k-го и i-го участков.

При постоянном токе и низкой частоте они могут быть определены по формулам:

L_k = ; (10)

M_ki = ; (11)

А при весьма высокой частоте по формулам:

L_k = ; (12)

M_ki = , (13)

где

_{= . (14)}

Здесь - взаимная индуктивность двух нитей тока i’ и i”, проходящих через элементы ds’ и ds” площади s или соответственно через элементы dλ’ и dλ” периметра λ поперечного сечения k-го участка; - то же для нитей, проходящих через элементы площадей s_k и s_i или соответственно периметров λ_k и λ_i поперечных сечений k-го и i-го участков; j’ = di’/dλ’ и j” = di”/dλ” – линейные плотности тока в точках расположения элементов dλ’ и dλ”; D и - расстояние и угол между элементами длины dl’ и dl” нитей l’и l”. Интегрирование по нитям l’и l” производится лишь в пределах соответствующих участков.

Общие формулы в 4.2.1 и 4.2.2. являются основными при расчете индуктивностей. Однако в большинстве случаев для получения необходимых формул приходится делать ряд дополнительных допущений и пренебрежений, основанных, в частности на малости размеров по сравнению с другими.