8. Неопределенный интеграл. Выражение определенного

интеграла через неопределенный

Если функции F(x) и f(x) связаны соотношением

(13)

то функция F(x) называется неопределенным интегралом (или первообразной) функции f(x) и обозначается следующим образом:

. (14)

В отличие от обозначения (10), в обозначении (14) отсутствуют пределы интегрирования.

Из формулы (13) следует, что неопределенный интеграл неоднозначен; действительно, если F(x) удовлетворяет соотношению (13), то и функция F(x)+С, где С- произвольная константа, удовлетворяет соотношению (13). Отсюда и происходит термин «неопределенный интеграл».

Между определенным и неопределенным интегралами имеется простая связь. Ньютоном и Лейбницем было установлено, что определенный интеграл от функции f(x) в промежутке от а до b равен приращению неопределенного интеграла на этом же промежутке:

. (15)

Иногда правую часть равенства (15) обозначают иначе:

.

Несмотря на то, что неопределенный интеграл неоднозначен, разность его значений в точках b и а определена однозначно, так как константа С при вычислении приращения F(x) выпадает из окончательного результата.

9. Простейшие правила и приемы интегрирования

Вычисление определенного интеграла сводится к нахождению неопределенного интеграла от подынтегральной функции. Первообразные некоторых функций приведены в табл.2.

Таблица 2

№	f(x)	F(x)		№	f(x)	F(x)
1	хμ			5	cosax
2	eax			6
3				7		arctg
4	sinax			8

Интегрирование является действием, обратным дифференцированию, поэтому правильность интегрирования можно проверить, взяв производную от F(x). Если эта производная совпадает с подынтегральной функцией f(x), значит интеграл найден правильно. Нетрудно убедиться, что производные функций, стоящих в правой части табл.2, совпадают с функциями в левой части табл.2. При интегрировании следует прежде всего помнить два правила:

1) интеграл суммы функций равен сумме интегралов от каждой функции в отдельности;

2) постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е.

.

Проиллюстрируем эти правила примерами.

П р и м е р 8. Найти . В табл.2 этого интеграла нет. Однако его легко найти, если подынтегральную функцию представить в виде . Тогда .

Последние 2 интеграла приведены в табл.2:

.

П р и м е р 9.

Найти . В табл.2 находим , следовательно, в соответствии с (15) .

Последняя формула и является ответом к примеру 7.

Отметим, что часто вид интеграла легко «угадать», зная интегралы простейших функций:

П р и м е р 10. Найти b, c-константы. В табл.2 есть «похожая» функция х^μ(μ=1/2), поэтому можно предположить, что интегралом является функция

Дифференцируя эту функцию по х получим b(bx+c)^1/2.

Последняя функция отличается от подынтегральной множителем b, поэтому нашу ошибку легко исправить, если в качестве F(x) выбрать F(x)= , и, следовательно,

.

Очень распространенным приемом интегрирования является замена переменной в интеграле. Прежде, чем сформулировать правило в общем виде, рассмотрим пример:

П р и м е р 11. Найти . Обращаем внимание на то, что выражение cosxdx можно формально представить в виде dsinx (см.(5)). Удобство такого представления заключается в том, что оставшаяся под интегралом часть функции sin³x зависит только от sinx. Если ввести новую переменную t=sinx, то

.

Последний интеграл легко найти:

. (16)

Вспомним, что t=sinx:

. (17)

Итак, если подынтегральную функцию можно представить в виде , то

, (18)

при этом «временно», пока не взят интеграл, мы рассматриваем φ как независимую переменную и только в последнем выражении заменяем φ на его явное выражение через х (см.(16), (17)).

СОДЕРЖАНИЕ