Е.А. Елтаренко. Теория игр. Конспект лекций
.pdfContents |
|
2. Теория игр............................................................................................ |
2 |
2.1. Основные понятия теории игр.................................................... |
2 |
2.2. Матричные игры с седловой точкой .......................................... |
3 |
2.3. Матричные игры без седловой точки ........................................ |
4 |
2.3.1. Решение матричных игр 2 2 ................................................... |
6 |
2.3.2. Решение матричных игр 2 m графоаналитическим |
|
методом............................................................................................... |
9 |
2.3.3. Решение матричных игр n 2 графоаналитиским |
|
методом.................................................................................. |
10 |
2.3.4. Решение матричных игр n m ................................................ |
11 |
2.4. Биматричные игры..................................................................... |
15 |
2.4.1. Принципы решения биматричных игр .................................. |
15 |
2.4.2. Решение биматричных игр 2 2 ............................................. |
16 |
2.4.3. Решение биматричных игр n m ............................................ |
21 |
2.5. Коалиционные игры .................................................................. |
22 |
2. ТЕОРИЯ ИГР
В данном разделе рассматриваются элементы теории игр, связанные с анализом конфликтных ситуаций, когда есть соперничество (конкуренция) участников. Примерами таких задач является конкуренция фирм за рынки сбыта.
Другой постановкой является задача выбора партнеров для совместной деятельности, анализ и решение этой задачи относится к коалиционным играм. В этих задачах решается вопрос на основе анализа ситуации выбора потенциальных партнеров для решения общих проблем.
Имеются и другие постановки задач в теории игр [6].
2.1. Основные понятия теории игр
Пусть A, B, D – участники игры.
Каждый участник имеет в своем распоряжении множество чистых
стратегий (возможных ходов в этой игре): |
|
|
|||
A:{S1a , S2a ,...Sna } или {Sia} (i 1, 2,..., n) ; |
|
||||
B :{S jb} ( j 1, 2,..., m) ; |
|
|
|
||
D :{Skd} (k 1, 2,..., l) . |
|
|
|
||
Исход – |
сочетание |
Sia , S jb , Skd |
(когда |
A |
выбирает одну чистую |
стратегию, B |
– другую, а D – третью). |
|
|
Каждый из исходов характеризуется полезностью (выигрышем) для
каждого участника: |
|
|
|
aijk – полезность исхода для участника |
A ; |
||
bijk |
– для участника |
B ; |
|
cijk |
– для участника |
D . |
|
Решить задачу – значит найти оптимальную стратегию выбора стратегий для участников. Возможные критерии оптимальности:
–справедливость;
–устойчивость (устраивает всех участников).
Классификация игр
Если для всех участников существует конечное число чистых стратегий Sia (i 1, 2,..., n) , S jb ( j 1, 2,..., m) , где n и m конечны, то такие игры являются конечными.
Игры с двумя участниками
A
и
B.
Если
b |
a |
, |
ij |
ij |
|
то эти игры
называются антагонистическими (выигрыш одного влечет проигрыш
другого). В этом случае достаточно задать только одну матрицу
a |
ij |
|
,
поэтому такие игры называются матричными. В общем случае игры с двумя участниками называются биматричными.
Если для каждого участника существует только две стратегии, то такие игры называются диадическими.
2.2. Матричные игры с седловой точкой
Пусть задана для участника |
A |
называют платежной матрицей.
Рассмотрим решение матричных примере:
матрица выигрышей |
aij |
, которую |
игр данного класса на следующем
|
|
|
|
S |
1b |
S |
2b |
S |
3b |
S |
4b |
S |
5b |
min a |
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
1a |
16 |
22 |
7 |
14 |
8 |
|
22 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
S |
2a |
11 |
10 |
|
8 |
|
9 |
21 |
|
|
8 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
S |
3a |
|
6 |
9 |
|
6 |
13 |
13 |
|
13 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
S |
4a |
|
2 |
16 |
5 |
3 |
|
4 |
|
5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
max a |
ij |
16 |
16 |
|
8 |
14 |
21 |
|
|
|
||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 1 (доминирующая
Sia |
и |
Ska |
выполняется условие |
стратегия). Если для
a |
a |
( j 1, 2,..., m) |
ij |
kj |
|
двух стратегий , и существует
хотя бы одна стратегия Ssb такая, что ais aks , тогда
S |
ia |
|
является
доминирующей стратегией по отношению к Ska , а чистая стратегия Ska –
доминируемой стратегией.
Если для |
пары стратегий |
S jb |
и |
Slb |
aij ail |
(i 1, 2,..., n) |
, |
и |
||
существует |
Ssa |
такая, что |
asj |
asl , |
тогда |
S j – |
доминирующая |
|
по |
отношению к Sl , а Sl – доминируемая стратегия.
Доминируемые стратегии можно исключить из матрицы aij , так как
оптимального решения среди них не будет.
Выбираем оптимальную стратегию S2*a для участника А по принципу:
Величина |
|
определяет |
этому принципу гарантирует,
|
|
|
|
. |
max min aij |
||||
i |
|
j |
|
|
нижнюю цену игры. Выбор стратегии по что выигрыш будет не меньше, чем .
Для участника |
|
принципу: min max |
|
j |
i |
B
aij
оптимальная стратегия– верхняя цена игры.
S |
* |
|
2 a |
||
|
определяется по
Игры, у которых Отметим, что всегда
, называются играми с седловой точкой.
. Действительно, пусть aik |
и asj |
:
|
|
|
|
|
|
|
aik . . . |
aij |
|
|
|
|
|
|
|
. |
. |
|
|
|
|
|
|
|
aij : . |
. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
. |
|
|
|
|
|
|
|
ask . . . |
asj |
a |
ik |
a |
ij |
, так как |
a |
ik |
– минимальное в строке i ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
максимальное в столбце j , откуда следует, что |
aik |
aij
|
|
a |
sj |
|
asj
.
, так как
a |
sj |
|
–
Может быть несколько седловых точек, тогда цена игры во всех этих точках одинакова: , где – цена игры.
Пусть существуют две седловые точки
определения седловых точек следует:
aik aij ; aij asj ; aik ask ; ask asj .
a |
ik |
, a |
sj |
|
|
.
Из условий
Все эти нестрогие неравенства 4 числа равны: aik aij ask asj
выполняются только в случае, когда все
.
2.3. Матричные игры без седловой точки
В данном классе игр нижняя цена игры строго меньше верхней Введем понятие смешанной стратегии. Смешанная стратегия
комбинация чистых стратегий с вероятностями выбора Pia :
|
|
{P |
|
|
n |
S |
a |
, P |
,..., P }; |
P 1. |
|
|
1a |
2a |
na |
ia |
|
|
|
|
|
|
i 1 |
.
–
Оптимальная смешанная стратегия: Sa* {Pia* } .
Для любой матрицы
a |
ij |
|
можно определить оптимальную смешанную
|
* |
* |
* |
* |
}, |
|
стратегию: |
Sa |
{Pia |
}, Sb |
{Pjb |
такую, что |
определяемый в соответствии с выражением:
выигрыш участника
A
,
n m |
|
aA aij Pia* Pjb* , |
|
i 1 j 1 |
|
будет в интервале , (для участника B |
это проигрыш aB ). |
Теорема о минимаксе. В матричной игре без седловой точки ( ) существует точка равновесия такая, что выигрыш участника A находится
в интервале |
aA , и оптимальные решения для участников |
находятся из условий:
для
для
a |
A |
|
A
Ba
* |
} из условия |
– {Pia |
|
– {P* |
} из условия |
jb |
|
B |
– цена игры. |
|
|
max min |
|
|
j |
|
min max
i
n aij i 1
m aij j 1
Pia
Pjb
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
Доказательство теоремы будет рассмотрено далее.
Определение 2 (активные стратегии). Активные стратегии для
участника |
A – это те стратегии из множества чистых |
Sia (i 1, 2,..., n) , |
|
* |
0 . |
|
|
для которых |
Pia |
|
|
|
Утверждение 1. Если участник |
A |
придерживается оптимальной |
смешанной стратегии, то его выигрыш не зависит от стратегии участника
B в пределах активных стратегий участника B . |
|
||||
Доказательство. Пусть |
участник |
A |
придерживается оптимальной |
||
смешанной стратегии, а B – произвольной смешанной. Тогда выигрыш |
|||||
участника равен: |
|
|
|
|
|
m |
n |
m |
|
n |
|
A aij Pia* Pjb Pjb |
aij |
Pia* . |
|||
j 1 i 1 |
j 1 |
i 1 |
|
|
m |
Пусть j |
aij Pia* – выигрыш участника |
|
j 1 |
A
, если участник
B
придерживается чистой стратегии S jb , и одновременно j – проигрыш для участника B , тогда
|
|
|
m |
|
|
|
|
A |
|
|
|
j |
P |
|
|
|
jb |
|||
|
|
|
j 1 |
|
|
|
.
(2.1)
Поскольку чистая стратегия |
S jb |
не является оптимальной стратегией |
для участника B , то j , j 1, 2,..., m , где |
– цена игры. |
Запишем (2.1) с учетом этого неравенства: |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
m |
|
|
m |
|
A |
|
|
|
j |
P |
|
|
P |
|
P |
|
|
|
jb |
|
jb |
|
jb |
||||
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
j 1 |
|
|
j 1 |
.
С учетом, что
m
Pjb 1, j 1
получаем нестрогое неравенство
|
a |
|
. Но
так как |
участник |
B осуществляет выбор |
||
|
|
* |
|
|
стратегий, |
а |
Pia |
– |
оптимальная стратегия для |
на |
множестве активных |
A, |
то a не может быть |
больше . Следовательно a |
. |
2.3.1. Решение матричных игр 2 2
Каждый из участников имеет по две чистые стратегии. Матрица выигрышей для A имеет вид:
|
|
a |
a |
|
||
aij |
|
11 |
|
12 |
. |
|
a |
|
a |
|
|||
|
|
21 |
22 |
|
||
|
|
|
|
|
Элементы матрицы таковы, что , т.е. седловой точки нет.
В качестве решения игры необходимо получить смешанные стратегии
{P |
* |
, |
|
||
1a |
|
P |
* |
},{P |
* |
, |
|
|
|||
2a |
1b |
|
P |
* |
|
|
2b |
}
.
На основе доказанного выше утверждения для оптимальной стратегии участника A будет выполняться следующее тождество:
|
|
P |
* |
a P |
* |
a |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1a |
|
11 |
2a |
|
|
21 |
|
|||
|
|
* |
1 |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что P2a |
P1a : |
|
|
|
|
|
|
|||||
P |
* |
a |
(1 P |
* |
)a |
|
|
|||||
|
|
21 |
||||||||||
1a |
|
11 |
|
|
1a |
|
|
|
||||
Откуда получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P* |
|
|
|
|
|
a22 |
|
|
|
|
|
|
1a |
|
a22 |
a11 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
P* |
1 P* |
|
|
||||||
|
|
|
|
2a |
|
|
|
1a |
|
a22 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
* |
a |
P |
* |
a |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1a |
|
12 |
2a |
|
|
22 |
|||
P |
* |
a |
(1 P |
* |
) |
||||
|
|
|
|||||||
1a |
|
12 |
|
|
1a |
|
|||
a21 |
|
, |
|
|
|
|
|||
a12 |
|
|
|
|
|
||||
a21 |
|
|
|
|
|
||||
|
a11 |
a12 |
|
|
|
|
. |
||
a11 |
a12 a21 |
|
|||||||
|
|
.
a |
22 |
|
.
(2.2)
(2.3)
Для определения |
P |
* |
также составим уравнение: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1b |
a |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
P |
* |
a |
P |
* |
|
a |
|
|
P |
* |
a |
|
P |
* |
|
||||||||||||||||
|
|
1b |
|
11 |
2b |
|
|
12 |
|
|
|
1b |
|
|
|
21 |
|
|
|
2b |
|
|
|
|
22 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
a |
22 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
P1b |
|
|
|
a |
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
22 |
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
* |
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
P2b |
1 P1b |
a |
|
|
a |
|
a |
|
a |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
21 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|||||||
Цена игры (выигрыш для участника A ) будет равна: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
m |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
a |
|
a |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
a P |
* |
P |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
11 |
|
|
|
12 |
|
|
21 |
|||||||||||||||
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
ia |
|
jb |
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
a |
|
|
a |
||||||||||||||
|
|
|
|
j 1 |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
;
21
.
(2.4)
(2.5)
Для того чтобы решения (2.2), (2.3), (2.4), (2.5) были положительными числами (вероятностями), необходимо, чтобы для элементов матрицы
aij выполнялись следующие неравенства:
a |
22 |
a |
21 |
0 |
||
|
|
|
|
|
||
a |
|
a |
|
0 |
||
|
22 |
|
||||
|
|
12 |
|
|||
|
a |
|
a |
|
|
0 |
|
|
21 |
||||
11 |
|
|
||||
a |
|
a |
|
|
0 |
|
|
11 |
12 |
|
или
a |
22 |
a |
21 |
0 |
||
|
|
|
|
|
||
a |
|
a |
|
0 |
||
|
22 |
|
||||
|
|
12 |
|
|||
|
a |
|
a |
|
|
0 |
|
|
21 |
||||
11 |
|
|
||||
a |
|
a |
|
|
0 |
|
|
11 |
12 |
|
.
|
Пример задачи. Правила игры. Каждый из участников имеет две |
|||
чистые стратегии: |
|
|
|
|
|
S1 – выбрать число 1, |
|
|
|
|
S2 – выбрать число 2. |
|
|
|
|
Если сумма у двух участников окажется четным числом, то выигрыш |
|||
A |
составит эту сумму. Если же сумма окажется нечетной, то выигрывает |
|||
участник B . |
|
|
|
|
|
Данные правила отражены в следующей платежной матрице: |
|||
|
|
S1 |
S2 |
|
|
S1 |
2 |
3 |
. |
|
S2 |
3 |
4 |
|
Найдем оптимальные смешанные стратегии для каждого из участников
|
P |
* |
|
|
|
|
a |
22 |
a |
21 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1a |
|
|
a |
|
a |
a |
|
|
a |
|
|
4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
22 |
|
|
21 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
P |
* |
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для участника |
B |
решением будет: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
P1b |
|
|
|
|
|
|
4 3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Цена игры равна: |
|
|
4 2 3 3 |
|
|
1 |
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
||
Поскольку |
0 |
, |
выигрывает участник |
вывод, что правила игры несправедливы. Отметим, что при выборе участником
4 3 |
|
7 |
; |
|
2 3 3 |
12 |
|||
|
|
127 ;
В; из этого можно сделать
В оптимальной смешанной
стратегии его выигрыш
112
не будет зависеть от действий
противника. Это следует из утверждения 1, поскольку у участника А обе чистые стратегии активные.
Графическая интерпретация решения игры 2 2. Построим
зависимость выигрыша участника A от |
Pia (рис. 2.1), |
|
|
|
||||
γ |
|
где |
1 |
P a |
(1 P |
)a |
– |
|
|
|
1a 11 |
1a |
21 |
||||
γ1 |
а11 |
выигрыш участника А, если |
||||||
а22 |
участник придерживается чистой |
|||||||
|
стратегии
S1b
,
|
|
|
|
γ2 |
|
|
2 |
P |
|
P |
|
а21 |
|
|
|
|
|
|
1a a12 (1 |
1a )a22 – если |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а12 |
|
участник придерживается чистой |
|||||
|
|
|
|
|
стратегии S2b . |
|
|
|
|||
0 |
|
Р*1а |
|
1 |
Р1а |
|
|
|
|||
|
|
|
|
Приравняв |
1 и 2, получим |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рис. 2.1. Графическая интерпретация |
оптимальное |
|
значение |
* |
|||||||
решения игры за участника А |
|
|
P1a , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
которое |
|
соответствует |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max min |
|
, т.е. |
A |
максимизировал свой выигрыш. |
|
|
|
||||
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь рассмотрим решение игры с позиции участника |
B |
. |
Построим |
||||||||||||||
зависимость его проигрыша от |
P1b |
(рис. 2.2), |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
где |
1 |
|
P |
|
P |
|
– |
||||||
|
γ |
|
|
|
1ba11 |
|
|
1b |
a12 |
||||||||
а11 |
γ2 |
а22 |
|
проигрыш участника В, если участник |
|||||||||||||
|
|
|
придерживается чистой стратегии |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
S1a , |
|
2 |
|
P |
|
|
P |
|
|
– если |
|||
|
|
γ1 |
|
|
|
|
1ba21 |
1 |
1b |
a22 |
|||||||
|
|
|
участник придерживается чистой |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
а21 |
|
а12 |
|
стратегии |
S2a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Оптимальное значение |
P |
* |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1b |
|||||||||||||
0 |
Р*1b |
1 Р1b |
|
получается из условия |
min max i , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
Рис. 2.2. Графическая интерпретация |
|
т.е. он минимизирует проигрыш. |
|||||||||||||||
решения игры за участника В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2.3.2. Решение матричных игр |
||||||||||||
|
2 m графоаналитическим |
|
|
методом |
|
|
|
|
|
Если участник |
A |
имеет 2 чистые |
стратегии, а |
стратегий, то матрица выигрышей для A |
имеет вид: |
B
– |
m |
чистых |
|
|
|
|
|
a |
a |
||
|
|
a |
|
: |
11 |
12 |
||
|
|
ij |
a |
|
a |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
21 |
22 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
γ |
|
|
|
|
|
|
|
a23 |
γ3 |
γ1 |
|
а11 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
а22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ2 |
|
|
а12 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
а12 |
|
|
|
|
а13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
Р*1а |
|
|
|
1 |
|
Р1а |
|
Рис. 2.3. Графическая интерпретация решения игры 2xm
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1m |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Построим зависимость |
|
|
||||||||
выигрыша участника |
|
A |
от P1a |
||||||||
при чистых стратегиях |
|
|
|
||||||||
участника B |
|
|
|
|
|
|
|
||||
S jb ( j |
1, 2,..., m) |
: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
j |
a |
P |
|
|
1 |
P |
|
. |
|
|
|
|
1 j |
1a a2 j |
|
1a |
|
||||
|
Оптимальное P1a |
находим из |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
условия |
|
max min aij |
Pia |
||||||||
|
|
|
|
|
|
j |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 2.3). Найденному
P |
* |
|
|
1a |
соответствуют две чистые стратегии участника
B , которые будут для него активными. Таким образом, игру 2 m сводим к игре 2 2 .
Если несколько прямых пересекаются в одной точке, то нужно брать две стратегии, которые имеют более острый угол, это обеспечит более устойчивое решение.
Пример. Дана платежная матрица, смешанные стратегии:
a |
|
: |
2 |
1 |
|
ij |
4 |
2 |
|||
|
|
||||
|
|
|
6 3
|
1 |
4 |
2 |
0 |
1 |
1 |
P1a |
необходимо найти оптимальные
6 |
3,2 |
. |
|
3 |
1 |
||
|
Строим зависимость |
|
j |
от |
||||
|
|||||||
P1a |
: выбираем стратегии |
S2b |
|||||
и S |
3b |
по |
|
|
|
|
|
принципу |
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
max min |
aij |
Pia . |
|
|
|
||
|
|
j |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переходим к матрице 2 2 |
- |
||||||
aij |
|
1 |
6 |
и |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
рассчитываем оптимальные
P1*a и P2*a :
P |
* |
|
3 2 |
|
5 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
1a |
|
3 1 2 6 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
P |
* |
|
|
2a |
|
7 |
|
12 |
||
|
. Решением игры для участника В
является: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P |
* |
|
3 6 |
|
9 |
|
3 |
; |
P |
* |
|
1 |
; |
P |
* |
0; P |
* |
0. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2b |
|
12 |
|
12 |
|
4 |
|
3b |
|
4 |
|
1b |
4b |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3.3. Решение матричных игр n 2 графоаналитиским методом
Участник A имеет n чистых стратегий, а |
B |
|||||
платежная матрица имеет вид: |
|
|
|
|
||
|
|
a11 |
a12 |
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
an1 |
an 2 |
|
|
|
Построим зависимость проигрыша участника |
||||||
стратегиях A Sia (i 1, 2,..., n) : |
|
1 P |
|
. |
||
|
i |
a P |
a |
|
||
|
i1 1b |
i2 |
1b |
|
– 2 чистые стратегии,
B |
от P1b при чистых |