3. Методика восстановления графика производной по графику функции

Производная является функцией х; её вид можно приближенно восстановить по графику функции f(х). Проиллюстрируем это на конкретном примере. На рис.3, а изображен график функции f(х) Для того чтобы восстановить график , мысленно проследим, как ведет себя касательная к графику f(х) при «скольжении» точки касания слева направо.

На участке 1-2 крутизна касательной сначала возрастает, а затем убывает, в точке 2 касательная параллельна оси х. Следовательно, tgβ, оставаясь положительным, сначала возрастает, а затем убывает, доходя в точке 2 до нуля. Это поведение tgβ и отражено на участке 1-2 графика производной (рис.3,б). На участке 2-3 tgβ<0, а в точке 3 tgβ=0. Дальнейшие рассуждения предлагается провести читателю самостоятельно. В точках, где функция достигает максимума или минимума, производная обращается в нуль. Следовательно, чтобы найти, в каких точках функция достигает максимума или минимума, следует решить уравнение

=0. (4)

4. Производные элементарных функций.

Техника отыскания производных

Найти производную функции (чаще говорят «продифференцировать функцию») можно, воспользовавшись определением (3). Однако если запомнить производные простейших функций, то отыскать производную любой элементарной функции можно с помощью нескольких несложных приемов. Производные простейших функций приведены в табл.1.

Таблица 1

№	f(х)			№	f(х)
1	хμ	μхμ-1		7	ctgx	-1/sin2x
2	ех	ех		8	arcsinx
3	lnx	1/x		9	arccosx
4	sinx	cosx		1	arctgx
5	cosx	-sinx		1	arcctgx
6	tgx	1/cos2x

Приведем основные правила дифференцирования более сложных выражений.

1. производная суммы функций равна сумме производных функций;

2) если функция f(х) является произведением функций f₁(х) и f₂(х), т.е. f(х)=f₁(х)· f₂(х), то

= (5)

В частности, если f₂(х)=А=сопst, то =А , поскольку производная от константы равна нулю;

3) производная «сложной» функции у(х)=f(φ(х)) вычисляется в два этапа. Сначала вычисляют производную f по φ, при этом временно рассматривают φ как независимую переменную (аргумент), а затем полученное выражение умножают на производную φ по х, т.е.

. (6)

Проиллюстрируем эти правила несколькими примерами дифференцирования функций.

П р и м е р 2: у=х²е^х, у является произведением функций =х², =е^х. Обратившись к табл.1, находим

и с помощью правила 2 формула (6)

.

П р и м е р 3: ; у является «сложной» функцией, которую можно представить в виде у=cosφ, φ=ax. Воспользовавшись формулой (7) и табл. 1, получим

.

П р и м е р 4: ; у представим в виде ,

, тогда .

П р и м е р 5: ; a,b,c=const. y(x) представляем в виде или, воспользовавшись свойством производной суммы, получим

.

Следует стремиться проводить дифференцирование в один прием, т.е. без промежуточных выкладок и без введения «промежуточных» функций φ(х), при этом все рассуждения, приводящие к ответу, должны делаться в уме.