11. Операции над нечеткими отношениями. Свойства нечетких отношений. Транзитивное замыкание нечетких отношений.

Пусть заданы 2 нечетких отношения R и S на множествах А и B, при этом

1. Объединение ,

Пример:

R	b1	b2	b3
a1	0,4	0,6	1
a2	0	1	0,3
a3	0,9	0,4	0
S	b1	b2	b3			b1	b2	b3
a1	0,3	0,7	0		a1	0,4	0,7	1
a2	0,2	0,8	1		a2	0,2	1	1
a3	0,6	0,7	0,3		a3	0,9	0,7	0,3

2. Пересечение

Пример:

R	b1	b2	b3
a1	0,4	0,6	1
a2	0	1	0,3
a3	0,9	0,4	0
S	b1	b2	b3			b1	b2	b3
a1	0,3	0,7	0		a1	0,3	0,6	0
a2	0,2	0,8	1		a2	0	0,8	0,3
a3	0,6	0,7	0,3		a3	0,6	0,4	0

3. Алгебраическое произведение

4. Алгебраическая сумма

5. Дополнение отношения

   	b1	b2	b3
   a1	0,6	0,4	0
   a2	1	0	0,7
   a3	0,1	0,6	1

6. Дизъюнктивная сумма нечетких отношений

Позволяет определить степень сходства

7. Инверсия нечеткого отношения

8. Обычное отношение, ближайшее к нечеткому :

9. Композиция (свертка) нечетких отношений, если нечеткие отношения R и S заданы на четких отношениях A,B,C, т.е. , то

Свойства нечетких отношений.

Свойства нечетких отношений определяют различные типы отношений.

Пусть R на A,

1. R	a1	a2	a3
   a1	1	0,2	0,1
   a2	0,3	1	0,3
   a3	0,1	0,2	1

   Рефлексивность. Для как пример можно привести отношение примерно равны.

2. Слабая рефлексивность нечеткого отношения.

3. Сильная рефлексивность нечеткого отношения

4. Антирефлексивность нечеткого отношения

как пример можно привести отношение много больше. Так же имеют место слабая анти рефлексивность и Сильная анти рефлексивность

5. Симметричность нечеткого отношения

6. Антисимметричность нечеткого отношения.

7. Асимметричность нечеткого отношения

8. Сильная полнота нечеткого отношения. Для

9. Слабая полнота нечетко отношения. Для

10. Транзитивность нечеткого отношения.

Свойства транзитивности зависят от способа определения операции .

Если .

Если .

Max-min-транзитивность для

Транзитивное замыкание нечетких отношений

Если нечеткое отношения, заданное на множестве A характеризует сходство между элементами множества, то транзитивность этого отношения позволяет разбивать элементы множества А на непересекающиеся классы сходства.

Если нечеткое отношение R заданное на множестве А, характеризует предпочтительность, доминирование или подчиненность множества А, то транзитивность такого отношения позволяет упорядочить элементы множества А в соответствии со смыслом отношения.

Операция транзитивного замыкания, для «превращения» не транзитивного отношения в транзитивное.

Транзитивным замыканием нечеткого отношения R называется нечеткое отношение

При транзитивном замыкании нечеткого отношения, в лучшем случае сохраняются рефлексивность, симметричность, полнота и транзитивность.

Транзитивное замыкание представляет собой наименьшее транзитивное отношение на множестве А. Включающее в себя отношение R или для любого отношения R его транзитивное замыкание равно пересечению всех транзитивных отношений, содержащих отношение R.

- уровень транзитивного замыкания нечеткого отношения R совпадает с транзитивным замыканием соответствующего - уровня этого нечеткого отношения.