3. Построение линии пересечения поверхности плоскостью.

Линия пересечения, которая получается от пересечения поверхности с плоскостью, является плоской кривой, лежащей в секущей плоскости. Чтобы ее построить надо найти проекции отдельных точек и, соединяя одноименные проекции плавными кривыми (по лекалу), получают проекции искомой линии. Среди точек кривой пересечения выделяют опорные точки: самая близкая или самая удаленная относительно плоскостей проекций (экстремальные точка); точки, расположенные на крайних образующих некоторых поверхностей – точки видимости, имеющие проекции на линии очертания, точки наибольшей ширины кривой и т.д.

Основной прием – способ вспомогательных плоскостей - построения линии пересечения поверхности с плоскостью заключается в следующем:

Вводится вспомогательная секущая плоскость, пересекающая поверхность, как правило, по окружности, а плоскость – по прямой. Кроме того, важно, чтобы проекция получающейся окружности имела наиболее простой вид – одна проекция была бы окружностью, а другая в виде отрезка прямой.

Полученные промежуточные точки пересечения полученной кривой и прямой принадлежат поверхности и секущей плоскости, то есть являются точками линии их пересечения. Находятся необходимое количество произвольных точек и затем соединяются с условием видимости по отношению к заданным образам и плоскостям проекций.

Линии, получаемые в сечении конуса второго порядка с плоскостью, называются коническими сечениями. Возьмем пример конуса вращения, который является частным случаем для конуса второго порядка (Рис. 7):

1. если плоскость параллельна основанию конуса, то в сечении получаем окружность. Ее радиус равен расстоянию от оси конуса до крайней образующей, т.е. лежащей в плоскости главного меридиана;

2. если плоскость пересекает вершину конуса и его основание, то в сечении получаем образующие – прямые линии;

3. если плоскость пересекает все образующие конуса, то в сечении получаем эллипс.

4. если плоскость параллельна одной из образующих конуса, то в сечении получаем параболу;

5. если плоскость параллельна двум образующим конуса, то в сечении получаем гиперболу;

6. если плоскость пересекает все образующие конуса, то в сечении получаем эллипс.

Приведенные выше общие правила используем в решении примеров на рисунках 8, 9. Задание:

1. Построить линию пересечения цилиндра с горизонтально – проецирующей плоскостью и найти точки пересечения прямой общего положения с поверхностью цилиндра (Рис.8).

2. Построить линию пересечения конуса с фронтально – проецирующей плоскостью и найти точки пересечения прямой общего положения с поверхностью конуса (Рис.8).

3. Построить линию пересечения сферы с фронтально – проецирующей плоскостью (Рис.9).

В сечении сферы плоскостью всегда получается окружность с радиусом, равным расстоянию от оси сферы до точки пересечения плоскости и очерка сферы. Но на одну из плоскостей проекций эта окружность может проецироваться еще либо линией, либо эллипсом, который надо строить по точкам.

S гипербола