2. Определение напряжений в массиве грунта от действия внешних нагрузок

   1. Действие сосредоточенной силы на упругое полупространство (задача Буссинеска)

Упругим полупространством называется упругая среда, простирающаяся вниз и в стороны до бесконечности и ограниченная сверху плоскостью.

Рис. 3.18. Напряженное состояние массива грунта, нагруженного сосредоточенной силой

При определении осадок оснований необходимо определять напряжения в разных точках массива грунта. Эту задачу впервые решил в 1885 г. Ж. Буссинеск.

Выделим в упругом полупространстве слой толщиной . Он должен находиться в равновесии под действием силы и напряжений в сечении, отстоящем на расстоянии от нагруженной поверхности.

Нормальные напряжения по горизонтальным площадкам определяются по формуле:

. (3.0)

где .

Для коэффициентов составлены таблицы в зависимости от ([1], [2], [5]).

2. Действие нескольких сил

Если к полупространству приложено несколько сосредоточенных сил, то напряжение в любой точке находится по принципу суперпозиции:

Рис. 3.19. Действие нескольких сил на упругое полупространство

. (3.0)

3. Действие равномерно распределенного давления

Используя формулу ( 3 .0), можно получить и формулу для определения нормальных напряжений от действия равномерно распределенной нагрузки (рис. 3 .20):

• в точках, расположенных под центром тяжести загруженного прямоугольника

, где ; (3.0)

• в угловых точках

, где . (3.0)

Рис. 3.20. Равномерно распределенное давление

• Метод угловых точек

Напряжения в любой точке основания при действии равномерно распределенной нагрузки (рис. 3 .21) находят с помощью метода угловых точек, основанного на формуле ( 3 .0).

Если точка находится в пределах площади загружения, то площадь ABCD разбивают на четыре вспомогательных прямоугольника , для каждого из которых точка является угловой (рис. 3 .21,a). Тогда суммарные напряжения находятся сложением напряжений от четырех площадей загружения :

. (3.0)

Если точка М находится вне пределов загруженной площади (рис. 3 .21,б), то ее принимают угловой для других четырех фиктивных площадей: . Суммарное напряжение находится также по принципу суперпозиции:

. (3.0)

Рис. 3.21. Определение напряжений методом угловых точек

а) точка находится в пределах загруженной площади; б) точка находится вне загруженной площади

3. Действие равномерно распределенной полосовой нагрузки (плоская задача)

При отношении сторон загруженного прямоугольника задача по определению напряжений в массиве грунта может считаться плоской (плоская деформация).

Рис. 3.22. Напряженное состояние грунта в условиях плоской задачи

Она характеризуется тем, что в каждом сечении, перпендикулярном продольной оси , будет одинаковая картина напряжений (Рис. 3 .22). В этом случае напряженное состояние грунта определяется тремя напряжениями: .

Напряжения определяются по формулам:

. (3.0)

где - угол видимости; (Рис. 3 .22).

В инженерной практике напряжения вычисляют с помощью коэффициентов влияния, которые находят из таблицы [2]:

(3.0)

Значения коэффициентов влияния приведены в таблице в зависимости от и .

По формулам ( 3 .0) или ( 3 .0) можно построить эпюры распределения напряжений по горизонтальным и вертикальным сечениям массива грунта для плоской задачи (Рис. 3 .23).

• Главные напряжения

Оценивать напряженное состояние массива грунта удобно с помощью главных напряжений.

Рис. 3.23. Эпюры распределения напряжений

а) по вертикальным сечениям массива грунта; б) по горизонтальным сечениям массива грунта

Можно показать, что главные площадки, по которым действуют максимальные сжимающие напряжения , расположены по биссектрисам к углам видимости, а главные площадки, по которым действуют напряжения - перпендикулярны к ним. Значения главных напряжений определяются по формулам:

(3.0)

где - угол видимости.

По формулам ( 3 .0) можно построить эллипсы напряжений для различных точек полупространства, которые наглядно иллюстрируют изменение напряжений в грунте под полосообразной нагрузкой.

Рис. 3.24. Эллипсы напряжений при действии полосообразной нагрузки