3. Наращение сложных процентов.
Формулы при наращении сложных процентов:
(3.1)
Таким образом, последовательность наращенных сумм P, P1,…, Pn есть геометрическая прогрессия с начальным членом P и знаменателем прогрессии (1+i).
Для начисления процентов m раз в году используется формула: для начисления процентов m раз в году используется формула:
(3.2)
где j — номинальная годовая процентная ставка;
m — число периодов начисления процентов в году;
N — число периодов начисленных процентов за весь срок контракта; N=n.m, где n — число лет.
При увеличении числа периодов m начисления процентов возрастает темп процесса наращения.
Эффективная ставка. Эффективная ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получает кредитор в целом за год. Иначе говоря, она отвечает на вопрос: какую годовую ставку сложных процентов необходимо установить, чтобы получить такой же финансовый результат, как и при m-разовом начислении процентов в году по ставке j/m.
Обозначим эффективную ставку через iс. Равенство наращенных сумм будет обеспечено в том случае, если равны первоначальные суммы Р, периоды наращения n и множители наращения, т.е.
отсюда получим следующую формулу:
(3.3)
т.е. эффективная процентная ставка больше номинальной.
Из последнего выражения получаем следующую формулу:
(3.4)
Пример 1.
Пусть P=1000, i=10%, т.е. доля i=0,1. Следовательно, наращенные по сложным процентам суммы таковы: 1000; 1000+0,1* 1000=1000+100=1100; 1100+0,1*1100=1210; 1210+0,1*1210=1331,1 и т.д.
Пример 2.
13 января в банк положили сумму 1000 ден. ед. до востребования под ставку 12% годовых сложных процентов. Какую сумму снимет вкладчик 1 сентября?
Решение.
Воспользуемся формулой наращения сложных процентов S=Р(1+i)n. Но как вычислить n? Изберем самый простой вариант: будем считать, что в году 360 дней, в квартале - 90, в одном месяце - 30 и т.д. (учтем, что в году есть несколько праздничных дней и т.д.). Тогда n=(30*7+17)/360.
Подставляем в формулу
S=1000*(1+0,12)227/360= 1000*(1,12)0,631=1000*1,07413 = 1074,13.
При одной и той же ставке i наращение сложных процентов идет быстрее, чем простых процентов, при длине периода наращения более единичного и медленнее, если период наращения менее единичного.
Для этого достаточно убедиться, что (1+i)n>(1+ni), если n>1 и (1+i)n<(1+ni), если 0<n<1. Графики функций (1+i)n и (1+ni) в зависимости от t показаны на рис. 2.
Пример 3.
Пусть сумма 800 наращивается по ставке i=8% простых и сложных процентов. Тогда наращенные суммы таковы:
Простые проценты |
800 |
864 |
928 |
992 |
Сложные проценты |
800 |
864 |
933,12 |
1007,77 |
Промежутки начисления |
0 |
1 |
2 |
3 |
4. Дисконтирование сложных процентов.
Формулы при дисконтировании сложных процентов:
При расчете настоящей стоимости денежных средств в процессе их дисконтирования по сложным процентам используется следующая формула:
(4.1)
где P — настоящая стоимость денежных средств (финансового инструмента), дисконтированная по сложным процентам;
S — будущая стоимость денежных средств (финансового инструмента);
n — количество отдельных периодов, по которым предусматривается расчет процентных платежей в общем обусловленном периоде времени;
i— используемая дисконтная ставка, выраженная десятичной дробью.
Множитель
называется множителем дисконтирования
стоимости по сложным процентам.
Если проценты начисляются m раз в году, то получим следующую формулу:
(4.2)
Величину Р, найденную дисконтированием величины S, называют современной или приведенной величиной.
Разность S - P = D’ является дисконтом.
Тогда получим следующую формулу:
(4.3)
Для облегчения расчетов, особенно со сложными процентами, составлены таблицы мультиплицирующих множителей.
Мультиплицирующий множитель показывает, во сколько раз возрастёт за n-лет сумма, положенная в банк под i процентов годовых:
M(n,i)=(1+i)n.
Величина M(n,i) есть будущая стоимость одной денежной единицы - через nлет при ставке процента i. Так, М(5,8) есть 1,469. Таблицы таких множителей имели большое значение для финансовых расчетов ранее, когда не было электронных калькуляторов. Но и сейчас во многих ситуациях такие таблицы весьма удобны. Ниже приведен фрагмент таблицы мультиплицирующих множителей M(n,i) для 2<n<11, 2<i<12.
Для облегчения расчетов используются также таблицы дисконтирующих множителей.
Дисконтирующий множитель показывает долю, которую составит начальная сумма, положенная в банк под i процентов годовых, от наращенной к концу n-го года: D(n,i)=1/M(n,i)=(1+i)n
Величину D(n,i) называют еще приведенной или современной стоимостью одной денежной единицы через n лет при ставке процента i. Так, D(5,8)=0,681. Ниже приведен фрагмент таблицы дисконтирующих множителей D(n,i) для 2<n<11, 2<i<12.
САМОСТОЯТЕЛЬНО:
1. Банк выплачивает 6% простых в год. Господни Федоров хочет получить через 2 года 6 месяцев 10000 грн. на подарок сыну к 16-летию. Какую сумму он должен положить в банк в настоящий момент?
2. Покупатель приобрел холодильник, цена которого 3000 грн., в кредит, уплатив сразу 500 грн. и обязавшись уплатить остальное в течение 6 месяцев, делая ежемесячные равные платежи. Какую сумму он должен выплачивать ежемесячно, если продавец требует за кредит 6% простых в год?
3. Сберегательный банк начисляет ежегодно 8% сложных. Клиент положил в этот банк 20000 грн. Какая сумма будет на его счете а) через 5 лет, б) через 6 лет и три месяца?