1.5. Использование коммутационных чисел в актуарных расчетах

При определении размера тарифных ставок и резервов взносов по страхованию жизни для упрощения актуарных расчетов используют коммутационные числа:

1. Страховой взнос для возраста X:

D_X = L_X*X^X

2. страховые выплаты для возраста X:

C_X = D_X+V^X+1

3. фонд страховых взносов сумма везде от n=X до w

N_X = Σ D_n

4) выплаты для совокупности страхователей:

M_X = Σ C_n

5) фонд страхового запаса:

M_X = Σ C_n

где Х - возраст;

V - дисконтирующий множитель;

I. - число лиц, доживающих до возраста Х лет;

n- процентная ставка капитала в долях единицы;

w - предельный возраст по таблице смертности.

При расчете нетто-ставки на дожитие применяются числа D_X и М_X, на случай смерти - С_X, N_X, М_X, при исчислении возраста взносов в слу­чае смерти застрахованного - R_X.

Существуют специальные таблицы, где приводятся коммутацион­ные числа при разных процентных ставках.

Тарифные ставки рассчитываются по следующим формулам, учитывающим коммутационные числа.

1. Для расчета единовременной нетто-ставки на случай смерти при страховании на определенный срок используется формула:

Т ^t_{н х} = (M_X – M_X+1) / D_X

где t- срок страхования, лет;

Х - возраст страхователя, лет;

Т_н - нетто-ставка.

2. Для расчета единовременной нетто-ставки для пожизненного страхования на случай смерти применяется формула:

Т _{H X} = M_X / D_X

3. Единовременная нетто-ставка на дожитие рассчитывается по формуле:

Т ^t_{H X} = D_X+1/ D_X

Задача 13. Возраст страхователя - 41 год. Срок страхования - 5 лет. Рассчитать единовременную нетто-ставку на случай смерти, используя данные таблицы ком­мутационных чисел (табл.5).

Задача 14. Возраст страхователя – 41 год. Рассчитать единовременную нетто-ставку для пожизненного страхования на случай смерти, используя данные таблицы ком­мутационных чисел (табл.6).

Задача 15. Возраст страхователя - 41 год. Срок страхования - 10 лет. Рассчитать единовременную нетто-ставку на дожитие, используя данные таблицы ком­мутационных чисел (табл.6).

Задача 16. Рассчитайте единовременную нетто-ставку на 100 руб. страховой суммы по страхованию гражданина на случай смерти через 15 лет, используя коммутационные числа (табл.6).

Таблица 6

Коммутационные числа

Возраст страхователя, лет	Страховой взнос для возраста X	Выплаты для совокупности страхователей
41	27341	10992
45	…	10502
50	19859	…

Тема 2. Расчет страховых возмещений с учетом рисков

Массовые рисковые виды страхования - это те виды страхования, которые предположительно охватывают значительное число субъектов страхования и страховых рисков, характеризующихся однородностью объектов страхования и незначительным разбросом в размерах страховых сумм.

Первая методика применима для расчета тарифов по рискам, характеризующимся устойчивостью их реализации в течение 3 лет и представленным достаточно большой группой договоров.

Последовательность выполнения расчетов.

1. Определяется основная часть нетто-ставки (Т₀), т. е. средней величины без учета гарантированной надбавки, на 100 руб. страховой суммы по формуле

Т₀ = В/С*Р*100

2. Вычисляется гарантийная (рисковая) надбавка (Т_р). При отсут­ствии данных о разбросе возможных страховых возмещений рас­чет ведется по формуле:

Т_р = 1,2* Т₀* а *

где а - коэффициент, зависящий от гарантии безопасности.

3. Рассчитается нетто-ставка на 100 руб. страховой суммы

Т_н = Т₀ + Т_р

4. Тарифная ставка брутто будет равна;

Т = Т_н *100 / (100 - Н₀ )

При страховании по новым видам рисков при отсутствии фактиче­ских данных о результатах проведения страховых операций показате­ли страховой статистики оцениваются экспертным путем.

При этом рекомендуется отношение средней выплаты страхового обеспечения к средней страховой сумме, т. е. показатель, принимать не ниже:

• 0,3 - при страховании от несчастных случаев и болезней в меди­цинском страховании;

• 0,4 - при страховании средств наземного транспорта;

• 0,5 - при страховании грузов и имущества, кроме средств транс­порта;

• 0,6 - при страховании средств воздушного и водного транспорта;

• 0,7 - при страховании ответственности владельцев автотранс­портных средств, других видов ответственности и страховании финансовых рисков.

Вторую методику рекомендуется использовать по отдельным видам рисков. Расчет тарифной ставки производится по данным страховой статистики за ряд лет и прогноза убыточности страховой суммы на следующий год.

Эта методика применима:

• при наличии информации о сумме страховых возмещений и сово­купной страховой сумме по рискам, принятым на страхование за ряд лет;

• когда зависимость убыточности от времени близка к линейной.

Расчет производится в следующей последовательности:

1Определяется убыточность страховой суммы со 100 руб.:

У=D/C*100,

где У - убыточность страховой суммы, руб.;

В - страховое возмещение, руб.;

С - страховая сумма, руб.;

100 - единица страховой суммы, руб.

2. Прогнозируется убыточность страховой суммы. Прогноз произво­дится по модели вида:

У = a₀ + a₁*t,

где t - фактор времени (год);

a₀ + a₁ - параметры уравнения.

Для определения параметров уравнения необходимо решить следу­ющую систему нормальных уравнений:

ΣУ= a₀n + a₁*Σt

ΣУ_t = a₀Σt + a₁*Σt²

где n - число лет (т. е. случаев наблюдения).

Данную систему уравнений можно упростить, если начать отсчет года с середины ряда. В этом случае t= 0, система уравнений примет вид:

ΣУ= a₀n

ΣУ_t = 0₁Σt²

4. Путем подставления значений t для каждого года получим выровненную убыточность страховой суммы (У_t) для каждого года.

5. Прогнозируемая убыточность страховой суммы на t+1 год.

6. Для определения гарантийной (рисковой) надбавки рассчитыва­ем среднеквадратичное отклонение:

G = √(ΣY – Y_t)² / n

где G- среднеквадратичное отклонение, руб.

7. Нетто-ставку определим по формуле:

Т_н=У₆+G*а,

где G- нетто-ставка, руб.;

а - коэффициент, используемый для исчисления размера га­рантийной надбавки.

Величина коэффициента зависит от заданной гарантии безопаснос­ти и числа анализируемых лет.

8. Тарифная ставка брутто при условии заданной доля нагрузки будет равна:

Т = Т_н - 100 :100 - Н₀

Задача 17. Страховщик заключает договоры имущественного страхо­вания. Вероятность наступления страхового случая 0,01. Средняя страховая сумма 800 тыс. руб. Среднее страховое возмещение 575 тыс. руб. Количество договоров 12 000. Доля нагрузки в структуре тарифа 30%. Данные о разбросе возможных страховых возмещений при наступлении страхового случая отсутствуют.

Задача 18. Страховщик производит страхование граждан от несчаст­ных случаев. Вероятность наступления риска 0,05. Средняя страхо­вая сумма 300 тыс. руб. Среднее страховое обеспечение 100 тыс. руб. Количество договоров 5000. Доля нагрузки в тарифной ставке 30%. Средний разброс страхового обеспечения 50 тыс. руб.

Задача 19. Рассчитать тарифную ставку, используя отчетные пятилет­ние показатели страховой суммы и страхового возмещения (табл.7).

Таблица 7

Расчет убыточности страховой суммы и модели ее зависимости от времени

Годы	Страховая сумма	Страховое возмеще-ние	Убыточность страховой суммы на 100руб.	Фактор време-ни (t)	Ухt	t2.	Уt	(Уt-Ур)	(Уt-Ур)2
1	250800	3500
2	260100	3600
3	259100	3524
4	262000	3700
5	26100	3650
Итого	1293000	17974

Задача 20. Определите прогнозируемую убыточность страховой сум­мы на следующий после 5 лет шестой год и рассчитайте тарифную ставку, используя отчетные пятилетние показатели страховой суммы и страхового возмещения.

Данные для расчета. Для проведения расчетов используем стати­стические данные (табл. 8). Гарантия безопасности приведена в табл. 98, доля нагрузки в структуре тарифа изменяется от 20% до 50%.

Таблица 8