30. Метод фазовых траекторий для линейных систем.

Как известно, в линейных системах второго порядка возможны следующие переходные процессы:

1. Устойчивые:

   1. колебательный;

   2. апериодический.

2. Неустойчивые:

   1. колебательный;

   2. апериодический.

3. Переходные процессы системы, находящейся на границе устойчивости:

   1. апериодическая граница устойчивости;

   2. колебательная граница устойчивости.

Рассмотрим эти переходные процессы и фазовые траектории, соответствующие данным переходным процессам

Устойчивый колебательный переходный процесс имеет вид:

Фазовая траектория для данного переходного процесса имеет вид:

Устойчивый апериодический переходный процесс имеет вид:

Фазовая траектория для данного переходного процесса имеет вид:

Неустойчивый колебательный переходный процесс имеет вид:

Фазовая траектория для данного переходного процесса имеет вид:

Неустойчивый апериодический переходный процесс имеет вид:

Фазовая траектория для данного переходного процесса имеет вид:

Система, находящаяся на границе колебательной устойчивости, имеет переходный процесс:

Фазовая траектория для данного переходного процесса имеет вид:

Рассмотрев фазовые траектории для линейных систем можно сделать следующие выводы:

• В верхних квадрантах фазовой плоскости изображающая точка движется всегда слева направо, а в нижних – справа налево. Это объясняется тем, что при переменная возрастает, а при переменная убывает.

• В любой точке фазовой плоскости, где переменная и функция не равны нулю, фазовая траектория имеет только одно определенное направление, соответствующее значению производной в данной точке. Из этого следует, что фазовые траектории в таких точках не пересекаются.

• Если переходный процесс является сходящимся, что соответствует устойчивым система, то фазовая траектория имеет вид либо скручивающейся к началу координат спирали (для колебательного процесса), либо дуги, сходящейся к началу координат (для апериодического процесса);

• Если система неустойчива, то фазовая траектория - раскручивающаяся спираль или расходящаяся дуга;

• Если в системе установились колебания с постоянной амплитудой и частотой, то фазовой траекторией является эллипс, который называется предельным циклом.. По параметрам эллипса можно определить амплитуду и частоту;

• Для всех фазовых траекторий характерны следующие особенности: в верхних квадрантах плоскости фазовые траектории имеют направление слева направо; в нижнем квадранте – справа налево

Свойства фазовых траекторий для линейных систем сохраняются и для фазовых траекторий нелинейных систем. Однако фазовые траектории нелинейных систем имеют свои особенности.

31. Метод фазовых траекторий для нелинейных систем:

• В нелинейных системах, как правило, рассматривают фазовый портрет системы, т. е. совокупность фазовых траекторий, соответствующих различным начальным условиям.

• Нелинейные элементы изменяют фазовые траектории, например фазовые траектории нелинейных систем с нелинейностями типа «реле» имеют изломы в линии, называемой линией переключения

Рис. 4.42.

• Е сли нелинейный элемент имеет зону нечувствительности, то фазовый портрет нелинейной системы имеет множество особых точек, которые определяют отрезок равновесия.

• Режиму автоколебаний соответствует фазовый портрет, на которм фазовые траектории сходятся к предельному циклу.

Рис. 4.44.

• Д ля систем устойчивых в малом, но неустойчивых в большом фазовый портрет имеет вид, при котором фазовые траектории, внутри предельного цикла сходятся к началу координат, а вне предельного цикла расходятся от предельного цикла. Предельный цикл в данном случае является неустойчивым.

Рис. 4.45.

Метод фазовых траекторий графическим методом дает наглядное изображение устойчивости систем и определения режима автоколебания.

В отличие от линейных систем в нелинейных может быть несколько режимов автоколебания, что соответствует нескольким предельным циклам.

32. Метод гармонической линеаризации.

Метод гармонической линеаризации является приближенным методом исследования режима автоколебаний нелинейных систем. Этим методом можно определить условия возникновения и параметры автоколебаний как в системах второго порядка, так и в более сложных системах.

Метод основан на замене существенно нелинейного элемента системы эквивалентным линейным звеном. В замкнутой автоматической системе, работающей в режиме автоколебаний. Условием эквивалентности служит равенство амплитуд и фаз выходного сигнала эквивалентного звена и первой гармоники выходного сигнала реального нелинейного элемента. При этом предполагается, что сигнал на входе нелинейного элемента является синусоидальным. Такое предположение справедливо во всех случаях, когда линейная часть системы достаточно инерционна и не пропускает высокочастотные гармоники.

Рассмотри м типовую нелинейную систему

Рис. 4.48.

Если система находится в режиме автоколебаний, то на входе в нелинейный элемент сигнал является синусоидой:

(4.34)

На выходе нелинейного элемента сигнал имеет вид периодического сигнала, в общем случае отличного от синусоидального. Уравнение такого сигнала имеет вид:

(4.35)

Известно, что любой периодический сигнал может быть разложен в ряд Фурье и тем самым представлен в виде суммы гармонических составляющих:

(4.36)

где , - коэффициенты ряда Фурье определяются по формулам :

(4.37)

(4.38)

где Т – период повторения сигнала.

Однако уравнения (4.36) можно упростить, если учитывать следующее:

1. Статические характеристики большинства нелинейных элементов являются кососимметричными, т.е. симметричными относительно начала координат ( ). В этом случае постоянная составляющая и коэффициенты всех четных гармоник равны нулю( ).

2. Линейная часть нелинейных систем, которая располагается за нелинейным элементом, выполняет роль фильтра низких частот, т.е. на выходе нелинейной системы гасятся все гармоники кроме первой.

(4.39)

3,5....

На основе этих предпосылок уравнение (4.36) приобретает вид:

(4.40)

Из уравнения (4.34) можно получить:

(4.41)

(4.42)

(4.43)

Тогда уравнение (4.40) имеет вид:

(4.44)

Введем обозначения:

(4.45)

С учетом (4.45) уравнение (4.44) имеет вид:

(4.46)

или в операторном виде:

(4.47)

Таким образом, при выполнении указанных выше допущений нелинейное уравнение (4.35) может быть заменено линейным уравнением (4.46)или (4.47). Эта операция называется гармонической линеаризацией , уравнение (4.46) –уравнением гармонической линеаризации, а коэффициенты - коэффициентами гармонической линеаризации. Коэффициенты гармонической линеаризации зависят от вида нелинейной характеристики и могут быть определены по формулам (4.37), (4.38), (4.45).