
- •Раздел. Математический анализ
- •Тема 1. Множества и функции в.1. Понятие множества
- •В.2. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки
- •В.3. Определение функции
- •В.5. Элементарные функции
- •В.6. Интерполирование функций
- •В. 7. Преобразование графиков
- •Тема 2. Пределы и непрерывность в.1. Предел числовой последовательности
- •В.2. Предел функции
- •В. 3. Бесконечно малые величины
- •В. 4. Бесконечно большие величины
- •В. 5. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела
- •В. 6. Замечательные пределы
- •В.7. Непрерывность функции
- •В.8. Вычисление пределов
- •Тема 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной в.1. Задачи, приводящие к производной. Задача о касательной:
- •В.2. Определение производной функции
- •В.3. Основные правила дифференцирования
- •В.4. Производная сложной и обратной функций
- •В. 5. Производные основных элементарных функций
- •В.6. Производные высших порядков
- •В.7. Приложения производной
- •7.1. Правило Лопиталя
- •7.2. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции
- •7.3. Исследование функции на выпуклость и точки перегиба
- •7.4. Асимптоты графика функции
- •9.4. Общая схема исследования функций и построения их графиков
- •В.8. Дифференциал функции
- •8.1. Определение дифференциала
- •8.2. Применение дифференциала в приближённых вычислениях
- •8.3. Дифференциалы высших порядков
- •Тема 4. Неопределенный интеграл (ни) в.1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •В.3. Таблица ни
- •В.4. Методы интегрирования
- •4.1. Метод разложения
- •4.2. Метод замены переменной
- •4.3. Метод интегрирования по частям
- •В.5. Интегрирование отдельных классов функций
- •5.1. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •5.2. Интегрирование иррациональных функций
- •5.3. Интегрирование тригонометрических функций
- •Тема 5. Определённый интеграл в.1. Формула Ньютона-Лейбница.
- •В.2. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
В.3. Основные правила дифференцирования
с’ = 0;
x’ = 1;
(u + v)’ = u’ + v’;
(c∙u)’ = c∙u’;
(u∙v)’ = u’∙v + u∙v’;
(u∙v∙w)’ = u’∙v∙w + u∙v’∙w + u∙v∙w’;
.
В.4. Производная сложной и обратной функций
Если у есть функция от и: у = f(u), где и в свою очередь есть функция от аргумента х: u = φ(x), т.е. если у зависит от х через промежуточный аргумент и, то у называется сложной функцией от х (функцией от функции): y = f(φ(x)).
Теорема.
Производная сложной функции
,
где
,
где y
и u
– дифференцируемые функции своих
аргументов, равна произведению ее
производной по промежуточному аргументу
на производную этого аргумента по
независимой переменной:
или
y’x
= y’u
u’x
.
Пусть
–дифференцируемая
и строго монотонная функция на промежутке
X,
–
обратная к ней и непрерывная на
соответствующем промежутке Y.
Теорема.
Для дифференцируемой функции с
производной, не равной нулю, производная
обратной функции равна обратной величине
производной данной функции, т.е.
В. 5. Производные основных элементарных функций
С учётом полученного правила дифференцирования сложной функции таблицу производных можно записать в следующем виде:
Таблица производных
№ |
Функция у |
Производная у’ |
1 |
С |
0 |
2 |
x |
1 |
3 |
un |
n∙un-1∙ u’ |
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
eu |
eu∙u’ |
7 |
au |
au∙ln a∙u’ |
8 |
ln u |
|
9 |
loga u |
|
10 |
sin u |
cos u∙u’ |
11 |
cos u |
– sin u∙u’ |
12 |
tg u |
|
13 |
ctg u |
|
14 |
arcsin u |
|
15 |
arcos u |
– |
16 |
arctg u |
|
17 |
arcctg u |
– |
Пример 1. Найти производную функции:
а) у = х + 2; б)
y = (2x
– 3)(3x + 2); в) у
=
;
г) у =
;
д) у =(x3
– 2x2 + 5)6;
е)
;
ж)
;
з) y = tg(3x2
– 1); и)
.
Решение. а) у = х + 2
Используя правило дифференцирования (3) и формулы (1), (2), имеем:
у' = (x + 2)’ = (x)’ + (2)’ = 1 + 0 = 1.
б). y = (2x – 3)(3x + 2)
y’ = ((2x – 3)(3x + 2))’ = (2x – 3)’∙(3x + 2) + (2x – 3)∙(3x + 2)’ = 2∙(3x + 2) + (2x – 3)∙3 = 12x – 5. Здесь мы использовали правило дифференцирования (5).
в) у =
Используя правило дифференцирования (7), имеем
у’ =
=
.
г) у =
Найдем производную, используя правило дифференцирования (4) и формулу (3).
у' =
.
д) у =(x3 – 2x2 + 5)6
Пусть x3 – 2x2 + 5 = и, тогда у = и6. По формуле (3), получим у’ = (и6)’ = 6u5∙u’= 6(x3 – 2x2 + 5)5∙(x3 – 2x2 + 5)’ = 6(x3 – 2x2 + 5)5∙(3x2 – 4x).
е)
По правилу дифференцирования (7) и формуле (10) получим:
=
.
ж)
Используя формулы (4) и (10), имеем:
.
з) y = tg(3x2 – 1).
По формуле (12) имеем:
y'
= (tg(3x2
– 1))’ =
.
и) .
По формуле (8), а также (3), (4), (5) имеем:
=
=
.