В.3. Определение функции

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение.

Если величина сохраняет одно и то же значение лишь в условиях данного процесса, то в этом случае она называется параметром.

Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

Например, при равномерном движении s = v∙t: s и t – переменные, v – параметр.

Если по некоторому закону f каждому элементу х из множества Х ставится в соответствие вполне определенный элемент у из множества Y (т.е. ), то говорят, что на множестве Х задана функция y = f(x).

При этом х называется независимой переменной, у – зависимой, f – законом соответствия; множество Х называется областью определения, Y – областью значений функции.

Замечание. Если множество Х специально не оговорено, то под областью определения понимают область допустимых значений х, т.е. таких значений переменной х, при которых выражение y = f(x) имеет смысл.

Способы задания функций:

а) Аналитический способ (функция задана формулой вида y = f(x)).

б) Табличный способ (функция задается таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения функции y = f(x)).

в) Графический способ (функция задана графиком, т.е. множеством точек (х;у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значения функции y = f(x)).

г) Словесный способ (функция описывается правилом составления, например, функция Дирихле равна 1, если х – рационально, и 0, если х – иррационально).

Основные свойства функций:

1. Четность и нечетность.

Функция y = f(x) называется четной, если для любых значений х из области определения ( ) f(– x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси Оу. Например, функция у = х² – четная, т.к. f(– x) = (–х)² = х² = f(x).

Функция y = f(x) называется нечетной, если f(–x) = – f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Например, функция у = х³ – нечетная, т.к. f(– x) = (–х)³ = –х³ = –f(x).

Если функция не является ни четной, ни нечетной, то она называется функцией общего вида. Например, функция у = х² + х⁵ – общего вида.

2. Монотонность. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Т.е. пусть х₁, х₂ Х и х₂ > х₁, тогда функция возрастает на промежутке Х, если f(х₂) > f(х₁) и убывает, если f(х₂) < f(х₁).

y y

f (x₁) f (x₁)

f(x₂) f(x₂)

О а х₁ х₂ b x О а х₁ х₂ b x

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

3. Ограниченность. Функция y = f(x) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое положительное число М > 0, что |f(x)| ≤ M .

Например, функция y = sinx ограничена на всей числовой оси, т.к. |sinx| ≤ 1 .

4. Периодичность. Функция y = f(x) называется периодической с периодом Т≠0, если для любых х из области определения функции f(x+Т) = f(x).

Например, функция y = cosx имеет период Т = 2π, т.к. для cos(x+2π )= cosx.

В.4. Основные элементарные функции и их свойства (см. приложение)

1. Степенная функция: y = xⁿ; y = x^-n; y = .

2. Показательная функция: y = a^x.

3. Логарифмическая функция: y = log_ax.

4. Тригонометрические функции: y = sin x; y = cos x; y = tg x; y = ctg x.

5. Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x; y = arccos x; y = arctg x; y = arcctg x.