4.3. Метод интегрирования по частям
Пусть u = u(x), v = v(x) – дифференцируемые функции.
По
свойству дифференциала
или
.
Интегрируя обе части равенства, получим:
-
формула
интегрирования по частям.
Метод
заключается в следующем: подынтегральное
выражение разбивается на 2 множителя u
и dv.
Далее, при переходе к правой части
формулы, первый множитель дифференцируется,
а второй – интегрируется:
,
.
Этот метод применяется для двух групп интегралов:
I.
;
;
(где m=const).
В этой группе в качестве u
выбирают х,
а остальная часть подынтегрального
выражения принимается за dv
(u
= x).
II.
;
;
;
;
(где m=const).
В этой группе xdx
= dv.
Пример
4.
.
В нашем случае интеграл относится к I-ой группе интегралов, поэтому в качестве u возьмем 5х – 2 : u = 5х – 2, dv = e3x∙dx.
=
=
(по
формуле интегрирования по частям) =
=
=
.
Ответ: = .
В.5. Интегрирование отдельных классов функций
5.1. Интегрирование простейших рациональных дробей
Рациональной дробью называется отношение двух многочленов
R(x)=
где
a
и
- и это
действительные числа ( i=
0,
j=0,
)
если
m
<
,
то дробь называется правильной,
m
,
то дробь называется неправильной
Любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.
Простейшие рациональные дроби и их интегрирование:
1
тип:
,
(A,
a, b
R)
2
тип:
,
(A,
a, b, k
R),
k
3
тип:
Первый
вычисляется методом замены переменной:
+С,
а второй интеграл – табличный.
4
тип:
,
где (
не имеет действительных корней).
Пример
1.
=…
5 тип: Общий случай: если подынтегральная функция правильная рациональная дробь. Знаменатель – многочлен n-ой степени может быть представлен в виде:
Qn(x)
=
Тогда, рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших рациональных дробей.
R(x)=
В
этом представлении Ai
(
)
и Bj
(
)
и С
– неопределенные коэффициенты, которые
можно найти следующим образом: приводим
правую часть к общему знаменателю и
после этого числитель правой части
приравниваем к числителю левой части
Pm(x).
Этот метод называется методом
неопределенных коэффициентов.
Пример
2: Вычислить
Решение.
1=
1.
:
2.
:
5.2. Интегрирование иррациональных функций
Пример
3:
.
5.3. Интегрирование тригонометрических функций
I.
Интегралы вида
(где R
– рациональная функция) сводятся к
интегралу от рациональной дроби путём
универсальной подстановки:
,
,
.
Пример
4.
.
II.
,
m,
n
– целые числа.
А)
m
– нечетное,
тогда
,
если n
– нечётное,
то
.
Б) m, n – четные, тогда применяем формулы понижения степени:
,
.
Пример
5. а)
,
б)
.
III.
,
приводится к интегралу от рациональной
дроби подстановкой
.
Пример
6.
.
Замечание: Существуют неопределённые интегралы, которые не выражаются через элементарные функции:
-
интеграл
Пуассона 
- интегральный
логарифм
-
интеграл
косинус
- интеграл
синус
-
интеграл
Френеля. 
,
.