В.8. Дифференциал функции

8.1. Определение дифференциала

Пусть функция y = f(x) определена на промежутке Х и дифференцируема в некоторой окрестности точки х  Х. Тогда существует конечная производная

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин (БМВ) с пределами функций можно записать , где – БМВ при x0.

Откуда .

Т.о. приращение функции y состоит из 2 слагаемых: 1) линейного относительно x; 2) нелинейного (которое является БМВ более высокого порядка малости, чем x)

Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно x часть приращения функции, равная произведению производной данной функции на приращение независимой переменной

(1)

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dx = x

(т.к. для функции у=х дифференциал будет равен: ).

Поэтому формулу (1) можно записать в виде (2)

=> (т.е. производная функции есть отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной).

Пример 9. Найти дифференциал функции у = 6х² – 3.

Решение. Вычислим производную данной функции у = 12х и подставим в формулу (2): .

Геометрический смысл дифференциала: Дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда х получает приращение x.

На рисунке dy = KN, y = M₁N.

dy < y dy > y

Свойства дифференциала (1-5 аналогичны свойствам производной):

1. dС = 0.

2. d(Сu) = Сdu.

3. d(u  v) =du  dv.

4. d(uv) = vdu + udv.

5. .

6. Свойство инвариантности (т.е. неизменности) формы (формулы) дифференциала. Рассмотрим сложную функцию .

Тогда ,

т.е. формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой переменной х рассматривать функцию от зависимой переменной и.

8.2. Применение дифференциала в приближённых вычислениях

Из изложенного выше следует, что . Поэтому при достаточно малых значениях x у dy или . Откуда

(3)

Пример 10. Вычислить приближенно, используя дифференциал функции, tg46⁰.

Решение. Для приближенных вычислений воспользуемся формулой (3).

Положим f(x) = tgx. Найдем производную f’(x) = (tgx)’ = . Тогда . Учитывая, что tg46⁰ = tg(45⁰ + 1⁰) = tg , возьмем х = и Δх = .

Тогда tg46⁰ = tg .

Пример 11. Вычислить приближенно ,

Решение . Приближенная формула для вычисления корней n -й степени :

, поэтому

Возьмем x =16; x =0,64 ;

8.3. Дифференциалы высших порядков

Для дифференцируемой функции y = f(x) . Если дифференциал независимой переменной имеет произвольное, но фиксированное значение, не зависящее от х, то - некоторая функция от х, которая также может иметь дифференциал.

Дифференциалом n – го порядка (n – ым дифференциалом) называется дифференциал от дифференциала (n–1)–го порядка данной функции:

Дифференциал n – го порядка равен произведению производной n – го порядка на n – ю степень дифференциала независимой переменной.

. (где )

=> . В отличие от дифференциала первого порядка дифференциалы более высоких порядков не обладают свойством инвариантности формы.