Производные тригонометрических функций.

1) .

= = .  _.

₂₎ .

Доказывается аналогично первому: .

3) .

= =  .

4) y=ctg x. .

Производные обратных тригонометрических функций.

1) y=arcsin x. .

2) y=arccos x. .

3) y=arctg x. .

4) y=arcctg x. .

Производные логарифмической и показательной функций.

1. .

= = = = следствие из второго замечательного предела = =

´= .

2. . y= .

= = .

.

_{3. .}

= = = =

= = .

_.

4. y=е^x.

.

.

Производная сложной функции.

Теорема. Пусть функция имеет производную в точке t₀, а функция имеет производную в точке . Тогда производная сложной функции в точке t₀ будет равна:

.

Пример: ,

Производная обратной функции.

Теорема. Пусть функция монотонна на интервале (a,b) (возрастает или убывает) и имеет производную в каждой точке этого интервала. Если в точке x₀ , то обратная функция также имеет производную в соответствующей точке y₀, причем

.

Логарифмическое дифференцирование. Производная степенной функции.

Пусть функция .

Прологарифмируем эту функцию по основанию e: .

Возьмем производную левой и правой части равенства, считая y функцией от x: .

 производная правой части: .

Выразим отсюда y.

Описанный прием называется логарифмическим дифференцированием.

.

; ; ; ;

Производная неявной функции.

Уравнение F(x,y)=0 задает y, как неявную функцию от x.

Пример: ( – явное задание функции).

Чтобы продифференцировать функцию, заданную неявно, нужно взять производную левой и правой части уравнения, считая y функцией от x. Затем выразить из этого уравнения y.

Пример: ; ; ; ; – производная.

Производная функции, заданной параметрически.

Функция задана параметрически, если зависимость y от x осуществляется с помощью параметра t: , где tT.

Пример: ‒ параметрическое уравнение окружности с центром C(0,0) и радиусом R.

‒ параметрическое уравнение эллипса, где a и b большая и малая полуоси.

Вычисление производных функции, заданной параметрически:

Чтобы получить явную зависимость y от x, нужно из системы исключить параметр t. Для этого предполагаем, что для функции на промежутке t существует обратная функция . Тогда – сложная функция. Продифференцируем: .

; .

Дифференциал, его геометрический смысл, правила вычисления.

Дифференциал функции.

Пусть функция определена в точке x₀ и ее окрестности. Дадим x₀ приращение x тогда функция получает приращение y  где А - число (x) - бм более высокого порядка малости чем x. Выражение Ax называют главной частью приращения y.

Определение: Дифференциалом функции называют главную часть ее приращения, линейную относительность x.

Обозначают: dy или df, dy=df=A·x, где x  0.

Определение: Функция, имеющая дифференциал в точке x₀, называется дифференцируемой в этой точке.

Теорема: Для того чтобы функция была дифференцируема в точке x₀ необходимо и достаточно, чтобы она имела в точке x₀ конечную производную.

Дифференциал , где x – приращение аргумента и обозначается dx, тогда окончательно дифференциал:

.

Пример:   .