Второй замечательный предел.

Доказательство:

Вспомним число как предел числовой последовательности:

I случай.

Пусть х>1, возьмем n=[x] – целая часть числа х.

n х<n+1.

Перейдем к обратному выражению:

Возведем в степень:

Вычислим предел левой и правой части двойного неравенства:

По теореме «о двух милиционерах»:

II случай.

Пусть х<-1: проведем аналогичные рассуждения и сделаем замену –х=y, получим:

.

Ч.т.д.

Второй замечательный предел для функций:

Пример:

1) =

2) =

Следствия из второго замечательного предела.

1.

Док-во:

Ч.т.д.

2.

Частный случай:

3.

Сравнение бесконечно малых.

Рассмотрим отношение двух б/м (x) и (x), т.е. (x) и (x) ®0 при xx₀.

Определение: Если , тогда б/м a(x) и b(x) называются б/м одного порядка малости.

Определение: Если , тогда б/м a(x) и b(x) называются эквивалентными.

Обозначаются: a(x)~ b(x).

Определение: Если , тогда б/м (x) имеет порядок малости выше, чем б/м (x).

Определение: Если , тогда б/м (x) имеет порядок малости выше, чем б/м (x).

Теорема: Если при x®x₀ б/м a(x)~ a*(x), а б/м b(x)~ b*(x), то ; .

Тогда при x®x₀ и a(x) ‒ б/м справедливо:

sina(x)~ a(x); e^a(x)-1~a(x); ln(1+a(x))~ a(x); a^a(x)-1~a(x)·lna;

tga(x)~ a(x); arcsina(x)~ a(x); arctga(x)~ a(x); (1+a(x))^a-1~a·a(x).

Непрерывность функции.

Пусть функция y=f(x) определена в точке x₀ и некоторой ее окрестности.

Определение 1: Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x₀, если она определена в этой точке и .

x=x-x₀ – приращение аргумента, y=f(x)-f(x₀)=f(x₀+x)-f(x₀) – приращение функции.

Определение 2: Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x₀, если б/м приращению аргумента соответствует б/м приращение функции, т.е. .

Определение 3: Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x₀, если она определена в этой точке, оба односторонних предела существуют, конечны, равны между собой и равны значению функции в этой точке, т.е. .

Определение: Функция y=f(x) называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Свойства непрерывных функций.

1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций являются непрерывной функцией.

Док-во:

Докажем непрерывность суммы непрерывных функций.

Пусть f(x) и φ(x) непрерывны.

По первому определению непрерывности: , .

Рассмотрим

по первому определению сумма непрерывна в точке х₀.

Непрерывность произведения и частного непрерывных функций доказывается аналогично.

Ч.т.д.

2. У непрерывной функции знак предела и знак функции можно менять местами.

Если f(x) ‒ непрерывная функция, то .

Док-во: По первому определению непрерывности

.

Ч.т.д.

3. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения. y=xⁿ, y=sin x, y=e^x,…

Док-во:

а) y=const.

Возьмем произвольное значение х и дадим приращение Δx.

Тогда функция получит приращение:

.

, т.к. .

По второму определению непрерывности y=const непрерывна в своей области определения.

_б) y=x.

Возьмем произвольное значение х и дадим приращение Δx.

.

По второму определению непрерывности:

.

y=x непрерывна в своей области определения.

в) y=sinx.

Возьмем произвольное значение х и дадим приращение Δx.

По второму определению непрерывности:

0 cosx

_как произведение б/м на ограниченную функцию. y=sinx непрерывна при _.

Ч.т.д.

4. Пусть функция x=x(t) непрерывна в точке t_0. Пусть функция y=y(x) непрерывна в точке x₀, где x₀=x(t₀) . Тогда сложная функция y=y(x(t)) непрерывна в точке t₀.

Док-во:

Тогда по первому определению сложная функция непрерывна в точке х₀.

Ч.т.д.